Совет 1: Как определить угол между двумя прямыми

Прямая в пространстве задается каноническим уравнением, содержащем координаты ее направляющих векторов. Исходя из этого, определить угол между прямыми можно по формуле косинуса угла, образованного векторами.
Как определить угол между двумя прямыми
Инструкция
1
Определить угол между двумя прямыми в пространстве можно, даже если они не пересекаются. В этом случае нужно мысленно совместить начала их направляющих векторов и вычислить величину получившегося угла. Иными словами, это любой из смежных углов, образованных скрещивающимися прямыми, проведенными параллельно данным.
2
Существует несколько способов задания прямой в пространстве, например, векторно-параметрический, параметрический и канонический. Три упомянутых метода удобно использовать при нахождении угла, т.к. все они предполагают введение координат направляющих векторов. Зная эти величины, можно определить образованный угол по теореме косинусов из векторной алгебры.
3
Предположим, две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:L1: (x – x1)/k1 = (y – y1)/l1 = (z – z1)/n1;L2: (x – x2)/k2 = (y – y2)/l2 = (z – z2)/n2.
4
Используя величины ki, li и ni, запишите координаты направляющих векторов прямых. Назовите их N1 и N2:N1 = (k1, l1, n1);N2 = (k2, l2, n2).
5
Формула для косинуса угла между векторами представляет собой соотношение между их скалярным произведением и результатом арифметического умножения их длин (модулей).
6
Определите скалярное произведение векторов как сумму произведений их абсцисс, ординат и аппликат:N1•N2 = k1•k2 + l1•l2 + n1•n2.
7
Вычислите квадратные корни из сумм квадратов координат, чтобы определить модули направляющих векторов:|N1| = √(k1² + l1² + n1²);|N2| = √(k2² + l2² + n2²).
8
Используйте все полученные выражения, чтобы записать общую формулу косинуса угла N1N2:cos (N1N2) = (k1•k2 + l1•l2 + n1•n2)/( √(k1² + l1² + n1²)•√(k2² + l2² + n2²)).Чтобы найти величину самого угла, посчитайте arccos от этого выражения.
9
Пример: определить угол между заданными прямыми:L1: (x - 4)/1 = (y + 1)/(-4) = z/1;L2: x/2 = (y - 3)/(-2) = (z + 4)/(-1).
10
Решение:N1 = (1, -4, 1); N2 = (2, -2, -1).N1•N2 = 2 + 8 – 1 = 9;|N1|•|N2| = 9•√2.cos (N1N2) = 1/√2 → N1N2 = π/4.
Источники:
  • Тест №6 Угол между прямыми и плоскостями

Совет 2: Как найти угол между двумя прямыми

Прямая — одно из основных понятий геометрии. Она задается на плоскости уравнением типа Ax + By = C. Число, равное A/B, равно тангенсу угла наклона прямой или, как его ещё называют, угловому коэффициенту прямой.
Как найти угол между двумя прямыми
Вам понадобится
  • Знания по геометрии.
Инструкция
1
Пусть даны две прямые с уравнениями Ax + By = C и Dx + Ey = F. Выразим из этих уравнений прямых коэффициент угла наклона. Для первой прямой этот коэффициент равен A/B, а для второй D/E соответственно. Для наглядности рассмотрим пример. Уравнение первой прямой 4x+6y=20, уравнение второй прямой -3x+5y=3. Коэффициенты угла наклона будут соответственно равны: 0.67 и -0.6.
2
Теперь необходимо найти угол наклона каждой прямой. Для этого посчитаем арктангенс от углового коэффициента. В рассматриваемом примере углы наклона прямых будут равны arctg(0.67) = 34 градуса и arctg(-0.6) = -31 градус соотвественно.
3
Так одна прямая умеет отрицательный угловой коэффициент, а вторая положительный, то угол между этими прямыми будет равен сумме абсолютных величин этих углов. В случае же, когда угловые коэффициенты оба отрицательны или оба положительны, то угол находится путем вычитания из большего угла меньшего. В рассматриваемом примере получим, что угол между прямыми равен |34| + |-31| = 34 + 31 = 65 градусов.
Обратите внимание
Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.
Полезный совет
Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.

Совет 3: Как найти расстояние между двумя точками

Определить расстояние между двумя точками можно, измерив длину отрезка, который строится между ними. Если известны координаты точек, то расстояние можно вычислить, пользуясь математическими формулами.
Как найти расстояние между двумя точками
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - дальномер;
  • - угломер;
  • - понятие о декартовых координатах.
Инструкция
1
Чтобы измерить расстояние между двумя точками, постройте отрезок, концами которого будут являться эти точки. Затем, с помощью линейки измерьте длину этого отрезка. Она и будет равна расстоянию между двумя точками. Это можно делать как в пространстве, так и на плоскости.
2
Если точки имеют координаты в декартовой системе координат (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2) то для того, чтобы найти расстояние между ними произведите следующие действия: 1. От координат первой точки, отнимите соответствующие координаты второй точки, получите значения (x1-x2); (y1-y2); (z1-z2). 2. Возведите значения, полученные в п.1 в квадрат и найдите их сумму (x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)². 3. Из получившегося числа возьмите корень квадратный.
3
Результатом будет расстояние между точками с координатами (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2). Если точки заданы в полярных координатах, переведите их в декартовы. Найдите расстояние между ними по описанной методике.
4
Если установить систему координат проблематично, а измерить расстояния между двумя точками по прямой сложно (например, если между точками находится пригорок), используйте дополнительное построение. Отступайте по ровной местности до тех пор, пока не станет видно обе эти точки. С помощью дальномера измерьте расстояние до каждой из точек (для большей точности используйте лазерные измерительные приборы). С помощью угломера определите угол между направлениями на точки, расстояние между которыми определяется.
5
Найдите искомое расстояние, проделав следующие расчеты:1. Возведите в квадрат измеренные дальномером расстояния и найдите сумму получившихся чисел. 2. Найдите удвоенное произведение этих же расстояний и умножьте его на косинус измеренного угла.3. От результата, полученного в п. 1 отнимите результат, полученный в п.2. 4. Из полученного числа извлеките корень квадратный.
Видео по теме
Источники:
  • как найти наименьшее расстояние между точками в 2018
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500