Совет 1: Как определить угол между двумя прямыми

Прямая в пространстве задается каноническим уравнением, содержащем координаты ее направляющих векторов. Исходя из этого, определить угол между прямыми можно по формуле косинуса угла, образованного векторами.
Инструкция
1
Определить угол между двумя прямыми в пространстве можно, даже если они не пересекаются. В этом случае нужно мысленно совместить начала их направляющих векторов и вычислить величину получившегося угла. Иными словами, это любой из смежных углов, образованных скрещивающимися прямыми, проведенными параллельно данным.
2
Существует несколько способов задания прямой в пространстве, например, векторно-параметрический, параметрический и канонический. Три упомянутых метода удобно использовать при нахождении угла, т.к. все они предполагают введение координат направляющих векторов. Зная эти величины, можно определить образованный угол по теореме косинусов из векторной алгебры.
3
Предположим, две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:L1: (x – x1)/k1 = (y – y1)/l1 = (z – z1)/n1;L2: (x – x2)/k2 = (y – y2)/l2 = (z – z2)/n2.
4
Используя величины ki, li и ni, запишите координаты направляющих векторов прямых. Назовите их N1 и N2:N1 = (k1, l1, n1);N2 = (k2, l2, n2).
5
Формула для косинуса угла между векторами представляет собой соотношение между их скалярным произведением и результатом арифметического умножения их длин (модулей).
6
Определите скалярное произведение векторов как сумму произведений их абсцисс, ординат и аппликат:N1•N2 = k1•k2 + l1•l2 + n1•n2.
7
Вычислите квадратные корни из сумм квадратов координат, чтобы определить модули направляющих векторов:|N1| = √(k1² + l1² + n1²);|N2| = √(k2² + l2² + n2²).
8
Используйте все полученные выражения, чтобы записать общую формулу косинуса угла N1N2:cos (N1N2) = (k1•k2 + l1•l2 + n1•n2)/( √(k1² + l1² + n1²)•√(k2² + l2² + n2²)).Чтобы найти величину самого угла, посчитайте arccos от этого выражения.
9
Пример: определить угол между заданными прямыми:L1: (x - 4)/1 = (y + 1)/(-4) = z/1;L2: x/2 = (y - 3)/(-2) = (z + 4)/(-1).
10
Решение:N1 = (1, -4, 1); N2 = (2, -2, -1).N1•N2 = 2 + 8 – 1 = 9;|N1|•|N2| = 9•√2.cos (N1N2) = 1/√2 → N1N2 = π/4.

Совет 2: Как найти угол между двумя прямыми

Прямая — одно из основных понятий геометрии. Она задается на плоскости уравнением типа Ax + By = C. Число, равное A/B, равно тангенсу угла наклона прямой или, как его ещё называют, угловому коэффициенту прямой.
Вам понадобится
  • Знания по геометрии.
Инструкция
1
Пусть даны две прямые с уравнениями Ax + By = C и Dx + Ey = F. Выразим из этих уравнений прямых коэффициент угла наклона. Для первой прямой этот коэффициент равен A/B, а для второй D/E соответственно. Для наглядности рассмотрим пример. Уравнение первой прямой 4x+6y=20, уравнение второй прямой -3x+5y=3. Коэффициенты угла наклона будут соответственно равны: 0.67 и -0.6.
2
Теперь необходимо найти угол наклона каждой прямой. Для этого посчитаем арктангенс от углового коэффициента. В рассматриваемом примере углы наклона прямых будут равны arctg(0.67) = 34 градуса и arctg(-0.6) = -31 градус соотвественно.
3
Так одна прямая умеет отрицательный угловой коэффициент, а вторая положительный, то угол между этими прямыми будет равен сумме абсолютных величин этих углов. В случае же, когда угловые коэффициенты оба отрицательны или оба положительны, то угол находится путем вычитания из большего угла меньшего. В рассматриваемом примере получим, что угол между прямыми равен |34| + |-31| = 34 + 31 = 65 градусов.
Обратите внимание
Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.
Полезный совет
Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.

Совет 3: Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Чтобы определить величину угла между скрещивающимися прямыми, необходимо обе прямые (или одну из них) перенести в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. После этого следует найти величину угла между полученными пересекающимися прямыми.
Вам понадобится
  • Линейка, прямоугольный треугольник, карандаш, транспортир.
Инструкция
1
Современные технологии различных производств (строительства, машиностроения, приборостроения и т. п.) базируются на построении объемных (трехмерных) моделей. Основой такого построения является трехмерное проектирование (в школьном курсе решение пространственных задач рассматривается в разделе геометрии, называемом стереометрией). Довольно часто в трехмерном проектировании требуется решение задач определения количественных показателей взаимного расположения скрещивающихся прямых, например, расстояния и величины углов между ними.
2
Под скрещивающимися прямыми понимаются такие прямые, которые не принадлежат одной плоскости. Величина угла между двумя прямыми, не принадлежащими одной плоскости, равняется величине угла между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
3
Следовательно, чтобы определить угол между двумя прямыми, не принадлежащими одной плоскости, необходимо расположить параллельные им прямые в одной плоскости, то есть свести задачу к нахождению угла между двумя пересекающимися прямыми (рассматривается в планиметрии).
4
При этом абсолютно равноправными являются три варианта расположения прямых в пространстве:

-прямая, параллельная первой прямой, проводится через любую точку второй прямой;

-прямая, параллельная второй прямой, проводится через любую точку первой прямой;

-прямые, параллельные первой и второй прямой, проводятся через произвольную точку пространства.
5
При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов. Углом между двумя пересекающимися прямыми считается меньший из смежных углов, образованных при пересечении прямых (смежными называются углы, сумма которых составляет 180о). Измерение угла между пересекающимися прямыми приводит в решению задачи о величине угла между скрещивающимися прямыми.
6
Например, даны две принадлежащие разные плоскостям прямые a и b. На одной из прямых, допустим, a выбираем произвольную точку А, через которую при помощи линейки и прямоугольного треугольника проводим прямую b' таким образом, что b' || b. Согласно теореме о параллельном переносе, величина углов при таком виде пространственного перемещения является константой. Таким образом, прямая a образует с параллельными прямыми b и b' равные углы. С помощью транспортира измеряем угол между пересекающимися прямыми a и b'.
Обратите внимание
Следует соблюдать точность геометрических построений и проводимых измерений величины угла.
Полезный совет
Более оптимальным вариантом является построение прямой, параллельной одной из данных прямых, через любую точку второй прямой.

Совет 4: Как определить угол наклона прямой

Углом наклона прямой обычно считается угол между этой прямой и положительным направлением оси абцисс. Определить этот угол можно, исходя из уравнения прямой или координат определенных точек прямой.
Вам понадобится
  • декартова система координат
Инструкция
1
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx+b, где k - угловой коэффициент прямой. Этот коэффициент и определяет угол наклона прямой. Этот коэффициент равен k = tg?, где ? - угол между лучом прямой, расположенным выше оси абцисс и положительным направлением оси абцисс. Это и есть угол наклона прямой. Он равен ? = arctg(k).Если k = 0, то прямая будет параллельна оси абцисс или совпадать с ней. Тогда угол наклона ? = arctg(0) = 0, что отражает параллельности прямой оси абцисс (или их совпадение).
2
Если прямая пересекает ось абцисс и ось ординат, то ее угол наклона можно определить по координатам точек ее пересечения с этими осями. Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный этими точками и центром координат. Пусть O - центр координат, X - точка пересечения прямой с осью абцисс, Y - точка пересечения прямой с осью ординат. Тангенс угла в треугольнике между прямой и осью абцисс будет равен tg? = OY/OX. Здесь OY = |y|, OX = |x|, где y - координата по оси ординат точки пересечения прямой с осью ординат, а x - координата по оси ординат точки пересечения прямой с осью абцисс.
3
Следовательно, ? = arctg(OY/OX). Если угол наклона прямой острый, то этот угол наклона и есть угол ?, Если угол наклона тупой, то он равен 180-? = pi-arctg(OY/OX).Если прямая не проходит через центр координат, то можно выбрать две любые точки прямой с известными координатами и по аналогии посчитать тангенс угла наклона.Если уравнение имеет вид y = const, то угол наклона равен 0o. Если она имеет вид x = const, то угол наклона равен 90o.
Видео по теме

Совет 5: Как найти угол между прямой и плоскостью, если даны точки

Задача относится к аналитической геометрии. Ее решение можно найти на основе уравнений прямой и плоскости в пространстве. Таких решений, как правило, несколько. Все зависит от исходных данных. При этом любой вид решения без больших трудозатрат может быть переведен в другой.
Инструкция
1
Поставленную задачу наглядно иллюстрирует рисунок 1. Вычислению подлежит угол α между прямой ℓ (точнее, ее направляющим вектором s) и проекцией направления прямой на плоскость δ. Это неудобно тем, что тогда приходится искать направление Прs. Гораздо проще сначала найти угол β между направляющим вектором прямой s вектором нормали к плоскости n. Очевидно (см. рис. 1), что α=π/2-β.
Как найти <b>угол</b> между <strong>прямой</strong> и <em>плоскостью</em>, если даны точки
2
Фактически для решения задачи осталось определить нормальный и направляющий векторы. В поставленном вопросе упомянуты заданные точки. Только не указано - какие именно. Если это точки, определяющие как плоскость, так и прямую, то их не мене пяти. Дело в том, что для однозначного задания плоскости требуется знать три ее точки. Прямая однозначно задается двумя точками. Потому следует считать, что даны точки М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) (задают плоскость), а также M4(x4,y4,z4) и M5(x5,y5,z5) (задают прямую).
3
Для определения направляющего вектора s вектора прямой совсем не обязательно располагать ее уравнением. Достаточно положить s=M4M5, и тогда его координаты s={x5-x4, y5-y4, z5-z4} (рис. 1). Это же можно сказать и о векторе нормали к поверхности n. Для его вычисления найдите векторы М1М2 и М1М3, показанные на рисунке. M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1M3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Эти векторы лежат в плоскости δ. Нормаль n перпендикулярна плоскости. Поэтому положите ее равной векторному произведению М1М2×М1М3. При этом совершенно не страшно, если нормаль окажется направленной противоположно той, которая приведена на рис. 1.
4
Векторное произведение удобно вычислять с использованием вектора-определителя, который следует раскрывать по первой его строке (см. рис. 2a). Подставьте в представленный определитель вместо координат вектора а координаты М1М2, вместо b – M1M3 и обозначите их А, B, C (именно так записываются коэффициенты общего уравнения плоскости). Тогда n={А,B,C}. Для определения угла β используйте скалярное произведение (n,s) и способ его вычисления в координатной форме. сosβ=(A(x5-x4)+B(y5-y4)+C(z5-z4))/(|n||s|). Так как для искомого угла α=π/2-β (рис. 1), то sinα=cosβ. Окончательный ответ приведен на рис. 2b.
Как найти <b>угол</b> между <strong>прямой</strong> и <em>плоскостью</em>, если даны точки
Видео по теме
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.

Совет 6: Как найти угол между вектором и плоскостью

Вектор – направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину. В пространстве он задается тремя проекциями на соответствующие оси. Можно найти угол между вектором и плоскостью, если она представлена координатами своей нормали, т.е. общим уравнением.
Инструкция
1
Плоскость – это основная пространственная фигура геометрии, которая участвует в построении всех двухмерных и трехмерных форм, таких как треугольник, квадрат, параллелепипед, призма, окружность, эллипс и т.д. В каждом конкретном случае она ограничивается определенным набором линий, которые, пересекаясь, образуют замкнутую фигуру.
2
В общем же виде плоскость не ограничивается ничем, она простирается по разные стороны от своей образующей прямой. Это плоская бесконечная фигура, которая, тем не менее, может быть задана уравнением, т.е. конечными числами, которые являются координатами ее нормального вектора.
3
Исходя из вышесказанного, можно найти угол между любым вектором и плоскостью, используя формулу косинуса угла между двумя векторами. Направленные отрезки могут быть расположены в пространстве как угодно, однако каждый вектор обладает таким свойством, что его можно перемещать без потери основных характеристик, направления и длины. Этим и нужно воспользоваться, чтобы рассчитать угол между отстоящими векторами, поместив их зрительно в одну начальную точку.
4
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).
5
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
6
Пример: найдите угол между вектором (5, -3, 8) и плоскостью, заданной общим уравнением 2•x – 5•y + 3•z = 0.Решение: выпишите координаты нормального вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все известные значения в приведенную формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Видео по теме

Совет 7: Как найти угол между касательными

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол. Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.
Инструкция
1
Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны 90 градусов, радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Как найти <strong>угол</strong> между касательными
2
Извлеките квадратный корень. Получится 11.18 см. Поскольку угол ВАО представляет собой sin или отношение сторон ВО и АО вычислите его значение: Sin угла ВАО = 10 : 15 = 0.66
3
Затем, пользуясь таблицей синусов, найдите данное значение, которое соответствует примерно 42 градусам. Таблица синусов используется для решения различных задач – физических, математических или инженерных. Остается выяснить величину угла ВАС, для чего следует величину данного угла удвоить, то есть, получится примерно 84 градусов.
4
Величина центрального угла соответствует угловой величине дуги, на которую он опирается. Величину угла можно также определить с помощью транспортира, приложив его к чертежу. Так как подобные вычисления относятся к тригонометрии, то можно воспользоваться тригонометрическим кругом. С его помощью можно переводить градусы в радианы и наоборот.
5
Как известно, полный круг составляет 360 градусов или 2П радиан. На тригонометрическом круге отображены значения синусов и косинусов основных углов. Стоит напомнить, что значение синуса находится на оси Y, а косинуса на оси Х. Значения синуса и косинуса находятся в промежутке от -1 до 1.
6
Определить значения тангенса и котангенса угла можно поделив синус на косинус, а котангенса наоборот – косинуса на синус. Тригонометрический круг позволяет определить знаки всех тригонометрических функций. Так, синус - это нечетная функция, а косинус – четная. Тригонометрический круг позволяет понять, что синус и косинус – периодические функции. Как известно, период равен 2П.
Видео по теме
Источники:
  • угол между двумя касательными

Совет 8: Как найти расстояние между двумя точками

Определить расстояние между двумя точками можно, измерив длину отрезка, который строится между ними. Если известны координаты точек, то расстояние можно вычислить, пользуясь математическими формулами.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - дальномер;
  • - угломер;
  • - понятие о декартовых координатах.
Инструкция
1
Чтобы измерить расстояние между двумя точками, постройте отрезок, концами которого будут являться эти точки. Затем, с помощью линейки измерьте длину этого отрезка. Она и будет равна расстоянию между двумя точками. Это можно делать как в пространстве, так и на плоскости.
2
Если точки имеют координаты в декартовой системе координат (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2) то для того, чтобы найти расстояние между ними произведите следующие действия: 1. От координат первой точки, отнимите соответствующие координаты второй точки, получите значения (x1-x2); (y1-y2); (z1-z2). 2. Возведите значения, полученные в п.1 в квадрат и найдите их сумму (x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)². 3. Из получившегося числа возьмите корень квадратный.
3
Результатом будет расстояние между точками с координатами (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2). Если точки заданы в полярных координатах, переведите их в декартовы. Найдите расстояние между ними по описанной методике.
4
Если установить систему координат проблематично, а измерить расстояния между двумя точками по прямой сложно (например, если между точками находится пригорок), используйте дополнительное построение. Отступайте по ровной местности до тех пор, пока не станет видно обе эти точки. С помощью дальномера измерьте расстояние до каждой из точек (для большей точности используйте лазерные измерительные приборы). С помощью угломера определите угол между направлениями на точки, расстояние между которыми определяется.
5
Найдите искомое расстояние, проделав следующие расчеты:1. Возведите в квадрат измеренные дальномером расстояния и найдите сумму получившихся чисел. 2. Найдите удвоенное произведение этих же расстояний и умножьте его на косинус измеренного угла.3. От результата, полученного в п. 1 отнимите результат, полученный в п.2. 4. Из полученного числа извлеките корень квадратный.
Видео по теме
Источники:
  • как найти наименьшее расстояние между точками
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше