Совет 1: Как найти производную в маткаде

MathCAD имеет встроенный инструментарий для вычисления производных любой сложности. На панели Calculus расположена кнопка быстрого вызова этого инструмента. Программа выдает результат после вызова оператора аналитического вычисления.
Инструкция
1
Для аналитического вычисления производной выберите кнопку d/dx на панели Calсulus. На рабочем листе в черное окошко после оператора производной впишите вычисляемое выражение. Теперь введите знак стрелки с панели, либо наберите на клавиатуре сочетание Ctrl+”.” (русская буква «ю»). Нажмите F9. Значение производной функции будет выдано в виде математического выражения.
аналитическое вычисление производной
2
Решение задачи нахождения производной в определенной точке осуществляйте по следующей схеме. Сначала некоторой новой функции присвойте значение производной от заданной функции. Затем подставьте значение известной точки в эту функцию. Правильным будет и другой вариант. Задайте известное значение точки, а затем вычислите производную от нужной функции. Результат получайте с помощью знака равенства.
вычисление точного значения производной
3
Вычисление производных высших порядков выполняйте с помощью кнопки dn/dxn, расположенной также в панели Calculus. Важно помнить, что показатель порядка n должен быть обязательно натуральным числом. Когда шаблон вычисления производной появится на рабочем поле, введите в соответствующие черные прямоугольники значение порядка, переменную, по которой будет произведено дифференцирование, и исследуемую функцию. Для получения результата используйте стрелку, а не знак равенства.
производные высших порядков
4
При вычислении помните, что погрешность при просчете каждого следующего порядка накапливается, например, результат для производной пятого порядка имеет точность до пятого знака после запятой. По этой причине не всегда имеет смысл использовать численные методы дифференцирования. Всегда проверяйте возможность получения аналитического результата.

Совет 2: Как взять производную

Умение брать производную требуется от учеников средней школы, начиная с 9 класса. Много заданий на производные встречается в ЕГЭ по математике. От студентов высших учебных заведений тем более требуют брать любую производную. Это несложно, к тому же существует простой алгоритм взятия производных.
Вам понадобится
  • Таблица основных производных
Инструкция
1
Сперва надо определить, к какому виду относится функция, производную которой ищем. Если это простая функция от одной переменной, тогда вычисляем ее по таблице производных, представленной на рисунке.
Таблица производных основных функций
2
Производная суммы некоторых функций f(x) и g(x) равна сумме производных этих функций.
3
Производная произведения функций f(x) и g(x) вычисляется как сумма произведений: производной первой функции на вторую функцию и производной второй функции на первую функцию, то есть: f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x), где штрихом показана операция взятия производной.
4
Производную частного можно вычислить по формуле (f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x))/(g(x)^2). Эту формулу просто запомнить - числитель почти идентичен производной от произведения (только вместо суммы разность), а в знаменателе - квадрат знаменателя исходной функции.
5
Самое сложное в операции дифференцирования - это взять производную сложной функции, то есть f(g(x)). В данном случае мы должны будем сперва брать производную от внешней функции, не обращая внимания на вложенную. То есть, считаем g(x) аргументом. Затем вычислим производную вложенной функции и домножим ее на предшествующую вычисленную производную по сложному аргументу.
Видео по теме
Полезный совет
При взятии производной сложной функции важно уметь отличать внешнюю функцию от внутренней. Вы можете слегка обвести внутреннюю функцию и считать ее временно за простую переменную x, чтобы не запутаться.

Совет 3: Как найти производную в точке

В физическом смысле производная - это скорость изменения функции. Производная функции изменения координаты - это скорость движения, производная функции скорости является ускорением. Таким образом, зная формулу изменения координат тела в пространстве, можно найти его скорость и ускорение в каждой координате пространства.
Инструкция
1
Найдите приращение функции: Δf = f(x0+Δx) - f(x0). Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента: Δf/Δx = (f(x0+Δx) - f(x0))/Δx. При этом считайте, что Δx стремится к нулю. Это и будет производная функции в точке х0. На практике сначала находят общую формулу производной функции, а затем подставляют конкретное значение аргумента.
2
Для примера f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1, надо найти производную в точке x = 4.
Найдите производную f(x) = 3x^2 - 2*2x + 1. Найдите производную f'(4) = 3*4^2 - 4*4 + 1 = 48 - 16 + 1 = 33.
Обратите внимание
Производная постоянной равна нулю. Для основных функций существуют формулы вычисления производной.
Источники:
  • как вычислить скорость изменения функции в точке

Совет 4: Как найти производную

Нахождение производной (дифференцирование) - одна из главных задач математического анализа. Нахождение производной функции имеет множество применений в физике и математике. Рассмотри алгоритм.
Инструкция
1
Упростите функцию. Представьте её в том виде, в котором удобно брать производную.
2
Возьмите производную, используя правила дифференцирования и таблицу производных. В ней находятся производные основных элементарных функций: линейных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических. Производные элементарных функций желательно знать наизусть.
3
Производная постоянной (неизменяемой) функции равна нулю. Пример неизменяемой функции: y=5.
4
Правила дифференцирования.
Пусть с - постоянное число, u(x) и v(x) - некоторые дифференцируемые функции.
1) (cu)'=cu';

2) (u+v)'=u'+v';

3) (u-v)'=u'-v';

4) (uv)'=u'v+v'u;

5) (u/v)'=(u'v-v'u)/v^2
В случае сложной функции необходимо последовательно брать производные элементарных функций, входящих в состав сложной функции, и перемножать их. Учитывайте, что в сложной функции одна функция является аргументом другой функции.
Рассмотрим пример.
(cos(5x-2))'=cos'(5x-2)*(5x-2)'=-sin(5x-2)*5=-5sin(5x-2).
В данном примере мы последовательно берем производную функции косинуса с аргументом (5x-2) и производную линейной функции (5x-2) с аргументом x. Перемножаем производные.
5
Упростите полученное выражение.
6
Если необходимо найти производную функции в заданной точке, подставьте значение этой точки в полученное выражение для производной.
Видео по теме

Совет 5: Как найти производную от заданной функции

Задача взятия производной от заданной функции является базовой как для учащихся средних школ, так и для студентов высших учебных заведений. Невозможно в полной мере освоить курс математики без усвоения понятия производной. Но не стоит пугаться раньше времени - любую производную можно вычислить используя простейшие алгоритмы дифференцирования и зная производные элементарных функций.
Вам понадобится
  • Таблица производных элементарных функций, правила дифференцирования
Инструкция
1
По определению производной функции является отношение приращения функции к приращению аргумента за бесконечно малый промежуток времени. Таким образом, производная показывает зависимость роста функции от изменения аргумента.
2
Для того чтобы найти производную элементарной функции достаточно воспользоваться таблицей производных. Полная таблица производных элементарных функций приведена на рисунке.
Таблица производных элементарных функций
3
Для того, чтобы найти производную сумму (разности) двух элементарных функций мы используем правило дифференцирования суммы: производная суммы функций равна сумме их производных. Это записывается как:

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). Здесь символом (') показывается взятие производной от функции. А далее задача сводится к взятию производных двух элементарных функций, описанная на предыдущем шаге.
4
Для того чтобы найти производную произведения двух функций, необходимо воспользоваться еще одним правилом дифференцирования:

(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x), то есть производная произведения равна сумме произведения производной первого множителя на второй и первого множителя на производную второго. Найти производную частного можно по формуле, представленной на картинке. Она очень похожа на правило взятия производной произведения, только вместо суммы в числителе стоит разность, и добавляется знаменатель, в котором находится квадрат знаменателя заданной функции.
Производная частного
5
Взятие производной сложной функции - наиболее трудная задача при дифференцировании (сложной функцией называется функция, аргументом которой является какая-либо зависимость). Но и она решается по довольно простому алгоритму. Сначала мы берем производную по сложному аргументу, считая его простым. Затем мы умножаем полученное выражение на производную сложного аргумента. Так мы можем найти производную функции с любой степенью вложенности.
Источники:
  • Главный математический портал России
  • найти производные заданных функций

Совет 6: Как искать производную

Дифференцирование функций, то есть нахождение их производных — основа основ математического анализа. Именно с открытия производных, собственно, и началось развитие этой отрасли математики. В физике, а также и в других дисциплинах, имеющих дело с процессами, дифференцирование играет важнейшую роль.
Инструкция
1
В самом простом определении, производной от функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению ее аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. В определенном смысле, производная обозначает скорость изменения функции в данной точке.
Приращения в математике обозначаются буквой ∆. Приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0). Тогда производная будет равна f′(x0) = lim(∆y/∆x), ∆x → 0 = ∂y/∂x. Знак ∂ обозначает бесконечно малое приращение, или дифференциал.
2
Функция g(x), для которой в любой точке x0 ее области определения g(x0) = f′(x0) называется производной функцией, или просто производной, и обозначается f′(x).
3
Чтобы вычислить производную заданной функции, можно, исходя из ее определения, сосчитать предел отношения (∆y/∆x). При этом лучше всего преобразовать это выражение так, чтобы ∆x можно было в результате просто опустить.
Например, предположим, что вам нужно найти производную от функции f(x) = x^2. ∆y = (x + ∆x)^2 - x^2 = 2x∆x + ∆x^2. Это значит, что предел отношения ∆y/∆x равен пределу выражения 2x + ∆x. Очевидно, что если ∆x стремится к нулю, то это выражение стремится к 2x. Итак, (x^2)′ = 2x.
4
Непосредственным вычислением находят базовые, т.н. табличные производные. При решении задач на нахождение производных нужно всегда стараться свести заданную производную к табличным.
5
Производная любой константы всегда равна нулю: (C)′ = 0.
6
Для любого p > 0 производная от функции x^p равна p*x^(p-1). Если p < 0, то (x^p)′ = -1/(p*x^(p+1)). Например, (x^4)′ = 4x^3, а (1/x)′ = -1/(x^2).
7
Если a > 0 и a ≠ 1, то (a^x)′ = (a^x)* ln(a). Из этого, в частности, следует, что (e^x)′ = e^x.
Производная логарифма x по основанию a равна 1/(x*ln(a)). Таким образом, (ln(x))′ = 1/x.
8
Производные тригонометрических функций связаны между собой простым соотношением:
(sin(x))′ = cos(x); (cos(x))′ = -sin(x).
9
Производная суммы функций равна сумме производных: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x).
10
Если u(x) и v(x) — функции, у которых есть производные, то (u*v)′ = u′*v + u*v′. Например, (x*sin(x))′ = x′*sin(x) + x* (sin(x))′ = sin(x) + x*cos(x).
Производная от частного u/v равна (u′*v - u*v′)/(v^2). Например, если f(x) = sin(x)/x, то f′(x) = (sin(x) - x*cos(x))/(x^2).
Из этого, в частности, следует, что если k — константа, то (k*f(x))′ = k*f′(x).
11
Если дана функция, которую можно представить в виде f(g(x)), то f(u) называется внешней функцией, а u = g(x) — внутренней. Тогда f(g(x))′ = f′(g(x))*g′ (x).
Например, если дана функция f(x) = sin(x)^2, то f′(x) = 2*sin(x)*cos(x). Здесь квадрат — внешняя функция, а синус — внутренняя. С другой стороны, sin(x^2)′ = cos(x^2)*2x. В этом примере синус — внешняя функция, а квадрат — внутренняя.
12
Тем же путем, что и производную, можно вычислить производную от производной. Такая функция будет называться второй производной от f(x) и обозначаться f″(x). Например, (x^3)″ = (3x^2)′ = 6x.
Могут существовать и производные более высоких порядков — третья, четвертая и т.д.
Источники:
  • Справочник по математике — производная и дифференцирование

Совет 7: Как найти производную первого порядка

Понятие производной, характеризующее скорость изменения функции, является основным в дифференциальном исчислении. Производной функции f(x) в точке x0, называется следующее выражение: lim(x→x0) (f(x) – f(x0)) / (x – x0), т.е. предел к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке (f(x) – f(x0)) к соответствующему приращению аргумента (x – x0).
Инструкция
1
Чтобы найти производную первого порядка, пользуйтесь следующими правилами дифференцирования.

Во-первых, на забывайте самые простые из них - производная константы равна 0, а производная переменной равна 1. Например: 5’ = 0, x’ = 1. А также помните про то, что константу можно выносить из под знака производной. Например, (3 * 2^x)’ = 3 * (2^x)’. Обратите внимание на эти простые правила. Очень часто, решая пример, можно не учесть "отдельно стоящую" переменную и не продифференцировать ее (например, в примере (x * sin x / ln x + x) это последняя переменная x).
2
Следующее правило - производная суммы: (x + y)’ = x’ + y’. Рассмотрите следующий пример. Пусть необходимо найти производную первого порядка (x^3 + sin x)’ = (x^3)’ + (sin x)' = 3*x^2 + cos x. В этом и последующих примерах после упрощения исходного выражения пользуйтесь таблицей производных функций, которую можно найти, например, в указанном дополнительном источнике. Согласно этой таблице для приведенного выше примера получилось, что производная x^3 = 3 * x^2, а производная функции sin x равна cos x.
3
Также при нахождении производной функции часто используется правило производной произведения: (x * y)’ = x’ * y + x * y’. Пример: (x^3 * sin x)’ = (x^3)’ * sin x + x^3 * (sin x)’ = 3 * x^2 sin x + x^3 * cos x. Далее в этом примере можно вынести множитель x^2 за скобки: x^2 * (3 * sin x + x * cos x). Решите более сложный пример: найдите производную выражения (x^2 + x + 1) * cos x. В данном случае действовать нужно также, только вместо первого множителя выступает квадратный трехчлен, дифференцируемый по правилу производной суммы. ((x^2 + x + 1) * cos x)’ = (x^2 + x + 1)’ * cos x + (x^2 + x + 1) * (cos x)’ = (2 * x + 1) * cos x + (x^2 + x + 1) * (- sin x).
4
Если необходимо найти производную частного двух функций, воспользуйтесь правилом производной частного: (x/y)’ = (x’y – y’x) / y^2. Пример: (sin x / e^x) = ((sin x)’ * e^x – (e^x)’ * sin x) / e^(2 * x) = (cos x * e^x - e^x * sin x) / e^(2 * x) = e^x * (cos x + sin x) / e^(2 * x) = (cos x + sin x) / e^x.
5
Пусть имеется сложная функция, например sin(x^2 + x + 1). Для того, чтобы найти ее производную, необходимо применить правило для производной сложной функции: (x (y))’ = (x (y))’ * y’. Т.е. сначала берется производная «внешней функции», и результат умножается на производную внутренней функции. В данной примере (sin(x^2 + x + 1))’ = cos (x^2 + x + 1) * (2 * x + 1).
Полезный совет
Обратный процесс к дифференцированию – это интегрирование. Если вы хорошо им владеете, то можете совершить проверку – проинтегрируйте получившийся результат и сравните с исходным выражением. Результаты должны сойтись.
Источники:
  • http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_производных

Совет 8: Как находить производную от числа

Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для успешного дифференцирования требуется внимательно и аккуратно следовать определенным правилам и алгоритмам.
Вам понадобится
  • - таблица производных;
  • - правила дифференцирования.
Инструкция
1
Проанализируйте производную. Если она представляет собой произведение или сумму, разложите по известным правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.
2
Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость изменения функции, а скорость изменения постоянной величины — нуль. При необходимости это доказывается с помощью определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль делить на приращение аргумента есть нуль. Следовательно, предел нуля тоже есть нуль.
3
Не забывайте, что, имея произведение постоянного множителя и переменной, можно вынести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)'=cU', где «c» – константа; «U» — любая функция.
4
Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе вместо функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)'=(-c·U')/U2.
5
Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует выносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)'=(1/c)·U'.
6
Отличайте коэффициент перед аргументом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед аргументом, то функция — сложная, и ее необходимо дифференцировать по правилам сложных функций.
7
Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, нужно брать производную по формуле: (ах)'=lna·ах. Будьте осторожны и помните, что основанием показательной функции может быть любое положительное число отличное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)'=ех.
Видео по теме
Источники:
  • Таблица производных
  • производная числа

Совет 9: Как найти площать прямоугольника

О площади прямоугольника начинают говорить еще в младших классах. Существуют различные формулы, с помощью которых можно вычислить её. Рассмотрим некоторые из них.
Вам понадобится
  • -линейка;
  • -карандаш;
  • -калькулятор.
Инструкция
1
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам. Его размеры определяются длиной сторон. Он обладает рядом свойств:- противолежащие стороны равны и параллельны;- диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения;- его можно разделить на два равных прямоугольных треугольника;-вокруг прямоугольника можно описать окружность, её диаметр равен длине его диагонали.
2
Площадь прямоугольника представляет собой произведение сторон, принадлежащих одному углу. Обозначается латинской буквой S. Если имеется некоторый прямоугольник , у которого a – длина, а b – ширина, формула площади имеет вид:S = a×b. Это самая распространенная и элементарная формула.
3
Можно найти площадь, если имеются данные о его периметре.. Периметр прямоугольника равен сумме его сторон умноженной на два :P= (a+b)×2. Если в задаче известен он и одна сторона, то следует воспользоваться следующей формулой:S = a×((P-2a)/2)
4
Так же можно воспользоваться расчетом площади прямоугольного треугольника. Она равна произведению половины его катетов. Гипотенуза будет представлять собой диагональ прямоугольника, а катеты будут являться сторонами. Для того чтобы найти его площадь, необходимо умножить полученное значение на два. Такой вариант подходит тем, кто знает, как найти площадь треугольника.
5
Для нахождения площади могут быть задействованы и тригонометрические функции. Диагональ можно найти по формуле: d = √(a2 + b2). Углы между диагоналями находятся следующим образом:α = 2arctg(a/b),β = 2arctg(b/a), α + β = 180°. Если известна длина диагоналей и угол между ними, площадь находится по формуле:S = d2•sin(α/2)•cos(α/2).
6
Если прямоугольник вписан в окружность, его диагональ будет равна радиусу этой окружности. А площадь можно найти следующим образом:S = a×√(R^2-a^2).
7
Четырёхугольник у которого все стороны равны называется квадратом. Его площадь равна длине его сторон в квадрате. Еще ее можно найти как квадрат его диагонали поделенный на два.
Видео по теме

Совет 10: Как найти производную функцию в точке

Функция может быть дифференцируема при любых значениях аргумента, может иметь производную лишь на определенных интервалах или вовсе не иметь производной. Но если функция имеет производную в некоторой точке — это всегда число, а не математическое выражение.
Инструкция
1
Если функция Y одного аргумента x задана в виде зависимости Y = F (x), определите ее первую производную Y' = F'(x) с помощью правил дифференцирования. Чтобы найти производную функции в определенной точке х₀, предварительно рассмотрите область допустимых значений аргумента. Если х₀ принадлежит этой области, то подставьте значение х₀ в выражение F'(x) и определите искомое значение Y'.
2
Геометрически производная функции в точке определена как тангенс угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной к графику функции в точке касания. Касательная — это прямая, а уравнение прямой в общем виде записывается как y=kx +a. Точка касания х₀ общая для двух графиков - функции и касательной. Следовательно, Y(х₀) = y(х₀). Коэффициент k и есть значение производной в заданной точке Y' (х₀).
3
Если исследуемая функция задана в графическом виде на координатной плоскости, то для нахождения производной функции в нужной точке проведите через эту точку касательную к графику функции. Касательная — это предельное положение секущей при максимальном сближении точек пересечения секущей с графиком заданной функции. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу кривизны графика в точке касания. При отсутствии других исходных данных знания о свойствах касательной помогут начертить ее с большей достоверностью.
4
Отрезок касательной от точки касания графика до пересечения с осью абсцисс образует гипотенузу прямоугольного треугольника. Один из катетов — ордината заданной точки, другой — отрезок оси ОХ от точки пересечения с касательной до проекции исследуемой точки на ось ОХ. Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ определяется как отношение противолежащего катета (ординаты точки касания) к прилежащему. Полученное число является искомым значением производной функции в заданной точке.

Совет 11: Как находить значение производной функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Одна и та же функция может при одних значениях аргумента иметь производную, а при других — не иметь.
Инструкция
1
Прежде чем искать производную функции необходимо исследовать область значений аргумента и исключить те промежутки, при которых существование функции невозможно. Например, для функции f=1/x недопустимо значение аргумента х=0, а для функции z=logа x допустимы только положительные значения аргумента.
2
Производные простых функций одного аргумента находятся по формулам дифференцирования, которые можно запомнить или при необходимости найти в таблицах производных элементарных функций. Например, производная постоянной всегда равна нулю, производная линейной функции f(x)=kx равна коэффициенту k: f'(x)=k, функция f(x)= x² имеет производную f'(x)=2x.
3
При дифференцировании действуют правила, общие для любой функции:
- постоянный множитель можно выносить за знак производной: (k*f(x))'=k*(f(x))';
- производная суммы нескольких функций одного и того же аргумента равна сумме производных этих функций: (z(x) + f(x))'=z'(x)+f'(x);
- производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: (z(x)*f(x))'=z'(x)*f(x) + z(x)*f'(x);
- производная частного двух функций выглядит так: (z/f)'= (z'*f- z*f')/f².
4
Прежде чем применять эти правила при дифференцировании сложной функции, имеет смысл попытаться упростить исходное выражение. Например, если нужно найти производную дроби с многочленом в числителе, можно почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда нахождение производной частного функций заменяется на вычисление производной алгебраической суммы функций. Конечно, каждое слагаемое в полученном выражении останется дробью, и находить производную частного придется, но выражения будут менее громоздкими, и процесс дифференцирования существенно упростится. Для вычисления значения производной от функции в конкретной точке, в полученном ответе вместо аргумента x подставьте его численное значение и рассчитайте выражение.

Совет 12: Каков физический смысл производной

Производная функции - детище дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница - обладает вполне определенным физическим смыслом, если рассмотреть ее поглубже.

Общий смысл производной



Производная функции – это предел, к которому стремится отношение приращения значения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Для неподготовленного человека звучит крайне абстрактно. Если разобраться, будет видно, что это не так.

Для того чтобы найти производную функции, возьмите произвольную функцию – зависимость «игрека» от «икса». Замените в выражении этой функции ее аргумент на приращение аргумента и разделите полученное выражение на само приращение. Вы получите дробь. Далее необходимо провести операцию предела. Для этого нужно устремить приращение аргумента к нулю и пронаблюдать, к чему устремится в этом случае ваша дробь. Та конечная, как правило, величина и будет являться производной функции. Обратите внимание, что в выражении для производной функции уже не будет никаких приращений, ибо вы устремили их нулю, поэтому останется только сама переменная и (или) константа.

Итак, производная - это отношение приращения функции к приращению аргумента. Каков же смысл такой величины? Если вы, например, найдете производную линейной функции, то вы увидите, что она постоянна. Причем эта константа в выражении самой функции просто умножается на аргумент. Далее, если вы построите график данной функции при разных значениях производной, просто меняя ее раз за разом, то вы заметите, что при больших ее значениях наклон прямой становится больше, и наоборот. Если же вы имеете дело не с линейной функцией, то значение производной в данной точке скажет вам о наклоне касательной, проведенной в данной точке функции. Таким образом, значение производной функции говорит о скорости роста функции в данной точке.

Физический смысл производной


Теперь, чтобы понять физический смысл производной, достаточно просто заменить вашу абстрактную функцию на любую физически обоснованную. К примеру, пусть вы имеете зависимость пути перемещения тела от времени. Тогда производная от такой функции скажет вам о скорости перемещения тела. Если вы получите значение постоянное, то можно будет говорить о том, что тело перемещается равномерно, то есть с постоянной скоростью. Если же вы получите выражение для производной, линейно зависящее от времени, то станет понятно, что движение равноускоренное, ибо вторая производная, то есть производная данной производной, будет постоянной, что фактически означает постоянство скорости скорости тела, а это и есть его ускорение. Вы можете подобрать любую другую физическую функцию и увидеть, что ее производная даст вам определенный физический смысл.

Совет 13: Как найти производную е

Число е является постоянной величиной и приблизительно равно 2,7. Существуют различные случаи для нахождения производной степенной функцией, основанием которой является число е.
Вам понадобится
  • - доступ в интернет
Инструкция
1
Чтобы найти производную функции, имеющей вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
2
Для нахождения производной функции вида у = keª, необходимо еª умножить на коэффициент, т.е. у΄= k × eª
3
Если вам нужно найти производную сложной функции, например: у = е в степени ( х² - 2х + 1), вычислите произведение данной функции на производную показателя степени. Это будет выглядеть таким образом: у΄= е в степени (х² - 2х + 1) × степень (х² - 2х + 1)
4
Чтобы найти производную функции, имеющую вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
5
Чтобы найти производную такого вида: у = е³ª + 2еª, найдите производную каждого из слагаемых, затем сложите полученные результаты: у΄ = (е³ª)΄ + (2еª)΄; у΄ = 3е³ª + 2еª.
6
Для нахождения производной любой функции, в том числе и степенной с основанием е, воспользуйтесь сервисом http://www.matcabi.net/differentiate.php. Здесь помимо вычисления производных, вы сможете ознакомиться с теорией по различным темам, таким, как: «Производная», «Пределы», «Интеграл».
7
Посетите сайт http://mathserfer.com/math/task.php?tname=diff. На главной странице вы сможете вычислять производные функций on-line, с получением подробного решения задач. Решение производных функции основано на использовании правил дифференцирования, изучаемых в курсе математического анализа.
8
Чтобы найти производную функции введите ее в поле «Функция» для дифференцирования согласно правилам ввода данных.
9
Затем укажите переменную дифференцирования. Обычно это «x».
10
Если требуется найти производную высших порядков, изберите соответствующий порядок дифференцирования.
11
Чтобы найти производную вашей функции нажмите «Проверить введенные данные» и, кнопку «Решить».
Источники:
  • производные с е
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше