Совет 1: Как найти промежуточное значение

Для определения неизвестных промежуточных значений какой-либо функции или табличных данных в вычислительной математике используется аппарат интерполяции. Дискретный набор известных параметров может быть задан аргументами x0, х1 . . . xn и значениями функции yj=f(xj) (где j=0, 1, . . . , n). В простом частном случае задача поиска промежуточных значений указанного ряда может быть решена с помощью проведения линейной интерполяции.
Как найти промежуточное значение
Инструкция
1
Суть линейной интерполяции можно описать следующим допущением: в промежутке между известными соседними табличными значениями аргумента xi и xj рассматриваемую функцию y=f(x) можно приближенно считать линейной. Иными словами, на этом промежутке значение функции изменяется пропорционально изменению аргумента.
2
Более наглядно данное допущение можно отобразить в графическом виде в декартовой системе координат. Рассматриваемый отрезок функции уi и уj представляется непрерывной прямой с известными координатами. При поиске промежуточного значения функции Y, неизвестный аргумент Х находится между соседних значений хi и xj. Таким образом, можно записать следующие неравенства хi
Выразите записанные условия в виде пропорции следующего вида: (yj – yi)/(хj – хi) = (Y – yi)/(Х – хi). Здесь yj и хj – конечные значения, yi, хi – начальные значения отрезка, Y и Х – искомые промежуточные значения.

Как видно из пропорции при заданном приращении аргумента Х - хi легко найти соответствующее изменение функции Y – yi. Выразите приращение: Y – yi = ((yj – yi)/(хj – хi))*(Х – хi).

Таким образом, промежуточные значения функции можно определить, зная лишь приращение, на которое произошло изменение аргумента. Вычислите разности yj – yi и хj – хi при заданном шаге аргумента Х – хi. Подставляя полученные значения в формулу приращения, найдите показатель изменения функции.

Найдите промежуточное значение Y. Для этого к полученному значению приращения прибавьте начальный показатель функции уi на рассматриваемом отрезке. Аналогичным образом находится любое промежуточное значение с заданным шагом приращения.

Если стоит задача в определении аргумента X по заданным значениям функции y=f(x), проводится обратная линейная интерполяция. Ее суть заключается в отыскании значения X с помощью той же пропорции, только теперь в качестве известного параметра выступает приращение функции Y – уi. С помощью аналогичных преобразований находится неизвестное промежуточное значение аргумента Х = ((yj – yi)/(хj – хi))/(Y – уi) + хi.
3
Выразите записанные условия в виде пропорции следующего вида: (yj – yi)/(хj – хi) = (Y – yi)/(Х – хi). Здесь yj и хj – конечные значения, yi, хi – начальные значения отрезка, Y и Х – искомые промежуточные значения.
4
Как видно из пропорции при заданном приращении аргумента Х - хi легко найти соответствующее изменение функции Y – yi. Выразите приращение: Y – yi = ((yj – yi)/(хj – хi))*(Х – хi).
5
Таким образом, промежуточные значения функции можно определить, зная лишь приращение, на которое произошло изменение аргумента. Вычислите разности yj – yi и хj – хi при заданном шаге аргумента Х – хi. Подставляя полученные значения в формулу приращения, найдите показатель изменения функции.
6
Найдите промежуточное значение Y. Для этого к полученному значению приращения прибавьте начальный показатель функции уi на рассматриваемом отрезке. Аналогичным образом находится любое промежуточное значение с заданным шагом приращения.
7
Если стоит задача в определении аргумента X по заданным значениям функции y=f(x), проводится обратная линейная интерполяция. Ее суть заключается в отыскании значения X с помощью той же пропорции, только теперь в качестве известного параметра выступает приращение функции Y – уi. С помощью аналогичных преобразований находится неизвестное промежуточное значение аргумента Х = ((yj – yi)/(хj – хi))/(Y – уi) + хi.

Совет 2 : Что такое интерполяция и экстраполяция

Экстраполяция и интерполяция используется для оценки гипотетических значений переменной на основе сторонних наблюдений. Есть множество способов их использования, которые основаны на общей тенденции наблюдения данных. Несмотря на схожесть в названиях, между ними существует большое различие.
Формулы

Приставки



Чтобы определить разницу между экстраполяцией и интерполяцией, мы должны смотреть на префиксы «экстра» и «интер». Приставка «экстра» буквально означает — «за пределами» или в «дополнение к». Приставка «интер» означает - «между» или «среди». Зная это можно легко различать методы между собой.

Использование методов



Для обоих методов предполагается несколько начальных условий. Сначала необходимо определить, что будет независимой, а что зависимой переменной для нашего случая. С помощью сбора данных находится сдвоенный ряд их значений. Также необходимо сформулировать модель для исходных данных. Все это может быть записано в таблицу для наилучшей наглядности. Затем строится график зависимости. Они зачастую представляет собой произвольную кривую, которая приближенно характеризует данные. В любом случае, есть функция, которая связывает независимую переменную с зависимой.

Целью этих превращений является не только сама модель. Как правило, ее используют для прогнозирования. В частности, необходимо учитывать независимую переменную, которая будет прогнозируемым значением соответствующей ей зависимой переменной. Выходное значение нашей независимой переменной будет показывать, правильно ли была использована экстраполяция или интерполяция.

Интерполяция



Можно использовать полученную функцию, чтобы предсказать значение зависимой переменной для независимой, которая является неявно выраженной. В этом случае используется метод интерполяции.

Предположим, что значение х между 0 и 10 используется для создания функции:

у = 2x + 5;

Мы можем использовать эту функцию для наилучшей оценки величины у, соответствующей значению х=6. Для этого просто подставим это значение в исходное уравнение. Несложно увидеть результат:

у = 2 (6) + 5 = 17;


Экстраполяция



Можно использовать исходную функцию, чтобы предсказать значение зависимой переменной для независимой переменной, которая находится вне диапазона значений. В этом случае используется экстраполяция.

Пусть, как и до этого значение х находится между 0 и 10 и имеется функция:

у = 2x + 5;

Чтобы оценить значение y с помощью х=20, необходимо подставить это значение в наше уравнение:

у = 2 (20) + 5 = 45;

Если значение х не входит в диапазон допустимых значений, то метод проверки называют экстраполяцией.

Обратите внимание



Из двух методов, предпочтительной является интерполяция. Это так потому, что при ее использовании есть большая вероятность получения достоверной оценки. Когда мы используем экстраполяцию, то делается предположение, что наша тенденция сохранится для значений х и за пределами диапазона, который был задан изначально. Это не всегда может быть так, и поэтому необходимо быть очень осторожными при использовании метода экстраполяции.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500