Совет 1: Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции

Прямая y = f(x) будет являться касательной к графику, изображенному на рисунке в точке х0 при том условии, если она проходит через данную точку с координатами (х0; f(x0)) и имеет угловой коэффициент f'(x0). Найти этот коэффициент, учитывая особенности касательной, несложно.
Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - тетрадь;
  • - простой карандаш;
  • - ручка;
  • - транспортир;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Примите к сведению, что график дифференцируемой функции f(x) в точке х0 не имеет различий с отрезком касательной. Поэтому он является достаточно близким к отрезку l, к проходящему через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Чтобы задать прямую, проходящую через точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), укажите ее угловой коэффициент. При этом он равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) , а также стремится к числу f‘(x0).
2
Если значений f‘(x0) не существует, то, возможно, касательной нет, или же она проходит вертикально. Исходя из этого, присутствие производной функции в точке х0 объясняется существованием невертикальной касательной, которая соприкасается с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В данном случае угловой коэффициент касательной равняется f'(х0). Становится понятен геометрический смысл производной, то есть расчет углового коэффициента касательной.
3
То есть для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно найти значение производной функции в точке касания. Пример: найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х³ в точке с абсциссой Х0 = 1. Решение: Найдите производную данной функции у΄(х) = 3х²; найдите значение производной в точке Х0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Угловой коэффициент касательной в точке Х0 = 1 равен 3.
4
Начертите на рисунке дополнительные касательные таким образом, чтобы они соприкасались с графиком функции в следующих точках: x1, х2 и х3. Отметьте углы, которые образуются данными касательными с осью абсцисс (угол отсчитывается в положительном направлении - от оси до касательной прямой). Например, первый угол α1 будет острым, второй же (α2) – тупой, ну а третий (α3) будет равняться нулю, так как проведенная касательная прямая является параллельной оси ОХ. В этом случае тангенс тупого угла есть отрицательное значение, а тангенс острого угла – положительное, при tg0 и результат равен нулю.

Совет 2 : Как провести касательную

Касательная к окружности в двумерном пространстве - прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. В общем случае касательная - прямая, с которой стремится совпасть секущая, проведенная через две точки на произвольной кривой по мере сближения этих точек.
Как провести касательную
Вам понадобится
  • Транспортир, угольник или циркуль
Инструкция
1
Первым свойством касательной к окружности является ее перпендикулярность радиусу этой окружности. Поэтому для начала нужно построить радиус окружности, который соединит центр окружности и точку на окружности, через которую нужно провести касательную.
2
Далее необходимо построить прямую, проходящую через эту точку на окружности и перпендикулярную радиусу. Это можно сделать несколькими способами. Легче всего построить перпендикулярную прямую с помощью транспортира, отложив прямую под углом 90 градусов к радиусу.
3
Можно воспользоваться и угольником. Для этого нужно совместить радиус с одной из сторон угольника так, чтобы точка на окружности совпала с точкой пересечения двух сторон угольника. Тогда другая сторона угольника совпадет с касательной.
4
Если нет ни угольника, ни транспортира, то можно использовать циркуль. Для этого радиус окружности нужно продлить на длину, равную радиусу, наружу. Получится отрезок, равный по длине двум радиусам окружности с концами в центре окружности O и с точкой B вне окружности. Точка A на окружности окажется центром этой окружности.
5
Для построения касательной (перпендикулярной прямой) нужно построить две окружности - с центром в точке O и радиусом OB и с центром в точке B и радиусом OB. Две полученные окружности пересекутся дважды. Соединив точку A с любой из двух точек пересечения получившихся окружностей, вы получите касательную.
Видео по теме
Источники:
  • Точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра

Совет 3 : Как найти касательное уравнение

В учебнике 11 класса по алгебре учащиеся проходят тему производных. И вот в этом большом параграфе особое место уделено для выяснения, что же такое касательная к графику, и как найти и составить ее уравнение.
Как найти касательное уравнение
Инструкция
1
Пускай даны функция y=f(x) и определенная точка М с координатами а и f(a). И пусть известно, что существует f'(a). Ссоставим уравнение касательной. Это уравнение, как уравнение любой другой прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет вид y=kx+m, поэтому для его составления необходимо найти неизвестные k и m. С угловым коэффициентом все ясно. Если М принадлежит графику и если от нее можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент k равен f'(a). Для вычисления неизвестного m используем то, что искомая прямая проходит через точку М. Следовательно, если подставить координаты точки в уравнение прямой, то получим верное равенство f(a)=ka+m. отсюда находим, что m=f(a)-ka. Осталось только подставить значения коэффициентов в уравнение прямой.

y=kx+m

y=kx+(f(a)-ka)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Из этого следует, что уравнение имеет вид y=f(a)+f'(a)(x-a).
2
Для того, чтобы найти уравнение касательной к графику используют определенный алгоритм. Во-первых, обозначьте х буквой а. Во-вторых, вычислите f(a). В третьих, найдите производную от х и вычислите f'(a). И наконец, подставьте найденные а, f(a) и f'(a) в формулу y=f(a)+f'(a)(x-a).
3
Для того, чтобы лучше понять, как использовать алгоритм, рассмотрите следующую задачу. Составьте уравнение касательной для функции y=1/x в точке х=1.
Для решения этой задачи воспользуйтесь алгоритмом составления уравнения. Но при этом учитывайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.

1. В условии задачи указано значение точки а;

2. Следовательно, f(a)=2-0-0=2;

3. f'(x)=0-1-3х=-1-3х; f'(a)=-1;

4. Подставьте найденные числа в уравнение касательной к графику:

y=f(a)+f'(a)(x-a)=2+(-1)(х-0)=2-х.

Ответ: y=2-х.
Полезный совет
Для подтверждения вы можете построить график функции и найденной прямой.

Совет 4 : Как написать уравнение касательной

Касательная к кривой — прямая, которая прилегает к этой кривой в заданной точке, то есть проходит через нее так, что на небольшом участке вокруг этой точки можно без особой потери точности заменить кривую на отрезок касательной. Если эта кривая является графиком функции, то касательную к ней можно построить по специальному уравнению.
Как написать уравнение касательной
Инструкция
1
Предположим, что у вас есть график некоторой функции. Через две точки, лежащие на этом графике, можно провести прямую. Такая прямая, пересекающая график заданной функции в двух точках, называется секущей.

Если, оставляя первую точку на месте, постепенно двигать в ее направлении вторую точку, то секущая постепенно станет поворачиваться, стремясь к какому-то определенному положению. В конце концов, когда две точки сольются в одну, секущая будет плотно прилегать к вашему графику в этой единственной точке. Иными словами, секущая превратится в касательную.
2
Любая наклонная (то есть не вертикальная) прямая на координатной плоскости является графиком уравнения y = kx + b. Секущая, проходящая через точки (x1, y1) и (x2, y2), должна, таким образом, соответствовать условиям:
kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.
Решая эту систему двух линейных уравнений, получаем: kx2 - kx1 = y2 - y1. Таким образом, k = (y2 - y1)/(x2 - x1).
3
Когда расстояние между x1 и x2 стремится к нулю, разности превращаются в дифференциалы. Таким образом, в уравнении касательной, проходящей через точку (x0, y0) коэффициент k будет равен ∂y0/∂x0 = f′(x0), то есть значению производной от функции f(x) в точке x0.
4
Чтобы узнать коэффициент b, подставим уже вычисленное значение k в уравнение f′(x0)*x0 + b = f(x0). Решая это уравнение относительно b, мы получим, что b = f(x0) - f′(x0)*x0.
5
Окончательный вариант уравнения касательной к графику заданной функции в точке x0, выглядит так:
y = f′(x0)*(x - x0) + f(x0).
6
В качестве примера рассмотрим уравнение касательной к функции f(x) = x^2 в точке x0 = 3. Производная от x^2 равна 2x. Следовательно, уравнение касательной приобретает вид:
y = 6*(x - 3) + 9 = 6x - 9.
Правильность этого уравнения легко проверить. График прямой y = 6x - 9 проходит через ту же точку (3;9), что и исходная парабола. Построив оба графика, вы сможете убедиться, что эта прямая действительно прилегает к параболе в этой точке.
7
Таким образом, график функции имеет касательную в точке x0 только тогда, когда функция имеет производную в этой точке. Если в точке x0 функция обладает разрывом второго рода, то касательная превращается в вертикальную асимптоту. Однако одно только наличие производной в точке x0 еще не гарантирует непременного существования касательной в этой точке. Например, функция f(x) = |x| в точке x0 = 0 непрерывна и дифференцируема, но провести касательную к ней в этой точке невозможно. Стандартная формула в этом случае дает уравнение y = 0, но эта прямая не является касательной к графику модуля.
Источники:
  • Математика для школьников — уравнение касательной
  • составить уравнение касательной

Совет 5 : Как решать график функции и касательной

Задача составления уравнения касательной к графику функции сводится к необходимости совершения отбора из множества прямых тем, которые могут удовлетворить заданным требованиям. Все этим прямые могут задаваться либо точками, либо угловым коэффициентом. Для того чтобы решить график функции и касательной, необходимо выполнить определенные действия.
Как решать график функции и касательной
Инструкция
1
Прочитайте внимательно задачу по составлению уравнения касательной. Как правило, имеется определенное уравнение графика функции, выраженное через x и y, а также координаты одной из точек касательной.
2
Постройте график функции в координатах осей x и y. Для этого необходимо составить таблицу соотношения равенства y при заданном значении x. Если график функции нелинейный, то для ее построения понадобится, как минимум, пять значений координат. Начертите оси координат и график функции. Поставьте также точку, которая указана в условии задачи.
3
Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет равно ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.
4
Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».
5
Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f '(a). В результате будет найдено решение графика функций и касательной.
6
Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить букву «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором буква «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.
7
Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо найти производную функции параллельной прямой, чтобы определить координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Совет 6 : Как найти абсциссу точки касания

При составлении уравнения касательной к графику функции используется понятие «абсцисса точки касания». Данная величина может задаваться изначально в условиях задачи или же ее необходимо определять самостоятельно.
Как найти абсциссу точки касания
Инструкция
1
Начертите на листе в клеточку оси координат х и у. Изучите заданное уравнение для графика функции. Если оно является линейным, то достаточно узнать два значения для параметра у при любых х, после чего построить найденные точки на оси координат и соединить их прямой линией. Если же график нелинейный, то составьте таблицу зависимости у от х и подберите как минимум пять точек для построения графика.
2
Постройте график функции и поставьте на оси координат заданную точку касательной. Если она совпадает с функцией, то ее координата х приравнивается к букве «а», которой обозначается абсцисса точки касания.
3
Определите значение абсциссы точки касания для случая, когда заданная точка касательной не совпадает с графиком функции. Задаем третий параметр буквой «а».
4
Запишите уравнение функции f(a). Для этого в исходное уравнение вместо х подставьте а. Найдите производную функции f(x) и f(a). Подставьте необходимые данные в общее уравнение касательной, которое имеет вид: y = f(a) + f '(a)(x – a). В результате получить уравнение, которое состоит из трех неизвестных параметров.
5
Подставьте в него вместо х и у координаты заданной точки, через которую проходит касательная. После этого найдите решение полученного уравнения для всех а. Если оно является квадратным, то будет два значения абсциссы точки касания. Это значит, что касательная проходит два раза возле графика функции.
6
Нарисуйте график заданной функции и параллельной прямой, которые заданы по условию задачи. В этом случае необходимо также задать неизвестный параметр а и подставить его в уравнение f(a). Приравняйте производную f(a) к производной уравнения параллельной прямой. Данное действие выходит из условия параллельности двух функций. Найдите корни полученного уравнения, которые будут являться абсциссами точки касания.

Совет 7 : Как найти угол между касательными

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол. Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.
Как найти угол между касательными
Инструкция
1
Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны 90 градусов, радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Как найти <strong>угол</strong> между касательными
2
Извлеките квадратный корень. Получится 11.18 см. Поскольку угол ВАО представляет собой sin или отношение сторон ВО и АО вычислите его значение: Sin угла ВАО = 10 : 15 = 0.66
3
Затем, пользуясь таблицей синусов, найдите данное значение, которое соответствует примерно 42 градусам. Таблица синусов используется для решения различных задач – физических, математических или инженерных. Остается выяснить величину угла ВАС, для чего следует величину данного угла удвоить, то есть, получится примерно 84 градусов.
4
Величина центрального угла соответствует угловой величине дуги, на которую он опирается. Величину угла можно также определить с помощью транспортира, приложив его к чертежу. Так как подобные вычисления относятся к тригонометрии, то можно воспользоваться тригонометрическим кругом. С его помощью можно переводить градусы в радианы и наоборот.
5
Как известно, полный круг составляет 360 градусов или 2П радиан. На тригонометрическом круге отображены значения синусов и косинусов основных углов. Стоит напомнить, что значение синуса находится на оси Y, а косинуса на оси Х. Значения синуса и косинуса находятся в промежутке от -1 до 1.
6
Определить значения тангенса и котангенса угла можно поделив синус на косинус, а котангенса наоборот – косинуса на синус. Тригонометрический круг позволяет определить знаки всех тригонометрических функций. Так, синус - это нечетная функция, а косинус – четная. Тригонометрический круг позволяет понять, что синус и косинус – периодические функции. Как известно, период равен 2П.
Видео по теме
Источники:
  • угол между двумя касательными

Совет 8 : Как найти координаты точки касания

Прежде чем приступить к нахождению координат точки касания, необходимо проверить возможность проведения касательной. Для этого выполните анализ функции, описывающей заданную кривую на определенном участке.
Как найти координаты точки касания
Инструкция
1
Касательная к произвольной линии на плоскости в прямоугольной системе координат — это предел, к которому стремится секущая к данной кривой при максимальном сближении точек пересечения кривой и прямой.
2
Следовательно, касательная имеет только одну общую точку с кривой. Однако это утверждение справедливо для строго определенного участка. В зависимости от поведения кривой в других областях координатной плоскости, касательная может пересекать заданную линию или, наоборот, удаляться от нее.
3
К некоторым кривым можно провести касательную в любой точке. Примеры таких линий — окружность, эллипс. Другие непрерывные кривые могут иметь точки, в которых построить касательную невозможно. Это происходит на участках, где секущая не стремится к одному предельному положению.
4
Пусть произвольная кривая описывается выражением Y=F(x). Общий вид уравнения прямой Y=kx+a. Очевидно, что в точке касания с координатами (Xo, Yо) справедливо равенство: F(Xo)=kXo+a.
5
Если функция F(x) дифференцируема в точке Xo, в этой точке можно провести касательную к кривой, и коэффициент наклона касательной к оси OX равен значению производной функции: k=F'(Xo). Уравнение касательной в точке касания принимает вид Yo=F'(Xo)*Xo+a. Задача нахождения координат точки касания сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными Yo=F(Xo) и Yo= F'(Xo)*Xo+a.
6
Плоскость является касательной к поверхности, если имеет общую с поверхностью точку и прямую или плоскую кривую линию. Определение координат (Xo Yo Zo) общей точки касательной плоскости и заданной криволинейной поверхности Z=F(x,y) возможно в случае если функция F(x,y) имеет полный дифференциал в данной точке.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500