Совет 1: Как построить ортогональную проекцию

Ортогональную, или прямоугольную, проекцию (от лат. proectio − «бросание вперед») можно физически представить как тень, отбрасываемую фигурой. При конструировании зданий и других объектов также используется проекционное изображение.
Как построить ортогональную проекцию
Инструкция
1
Чтобы получить проекцию точки на ось, постройте перпендикуляр к оси из этой точки. Основание перпендикуляра (точка, в которой перпендикуляр пересекает ось проекции) и будет, по определению, искомой величиной. Если точка на плоскости имеет координаты (x,y), то ее проекция на ось Ox будет иметь координаты (x,0), на ось Oy − (0,y).
2
Пусть теперь на плоскости задан отрезок. Чтобы найти его проекцию на координатную ось, надо восстановить перпендикуляры к оси из его крайних точек. Получившийся отрезок на оси и будет ортогональной проекцией данного отрезка. Если концевые точки отрезка имели координаты (A1,B1) и (A2,B2), то его проекция на ось Ox расположится между точками (A1,0) и (A2,0). Крайними точками проекции на ось Oy станут (0,B1), (0,B2).
3
Для построения прямоугольной проекции фигуры на ось проведите перпендикуляры из крайних точек фигуры. К примеру, проекцией круга на любую ось будет отрезок, равный диаметру.
4
Чтобы получить ортогональную проекцию вектора на ось, постройте проекции начала и конца вектора. Если вектор уже перпендикулярен координатной оси, его проекция вырождается в точку. Подобно точке проецируется нулевой вектор, не имеющий длины. Если свободные векторы равны, то равны и их проекции.
5
Пусть вектор b образует с осью x угол ψ. Тогда проекция вектора на ось Пр(x)b = |b|·cosψ. Для доказательства этого положения рассмотрите два случая: когда угол ψ острый и тупой. Используйте определение косинуса, находя его отношением прилежащего катета к гипотенузе.
6
Рассматривая алгебраические свойства вектора и его проекций, можно заметить, что:1) Проекция суммы векторов a+b равна сумме проекций Пр(x)a+Пр(x)b;2) Проекция вектора b, умноженного на скаляр Q, равна проекции вектора b, умноженной на это же число Q: Пр(x)Qb=Q·Пр(x)b.
7
Направляющими косинусами вектора называются косинусы, образованные вектором с координатными осями Ox и Oy. Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. Чтобы найти координаты вектора, не равного единице, надо направляющие косинусы умножить на его длину.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.

Совет 2: Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде. После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.
Как найти координаты проекций точек
Инструкция
1
Рассмотрите прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор. Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z - d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как ā = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
2
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*tₒ+X₁) + b*(b*tₒ+Y₁) + c*(c*tₒ+Z₁) - d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная tₒ:a²*tₒ + a*X₁ + b²*tₒ + b*Y₁ + c²*tₒ + c*Z₁ - d = 0a²*tₒ + b²*tₒ + c²*tₒ = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ*(a² + b² + c²) = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)
3
Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:Xₒ = a*tₒ+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁Yₒ = b*tₒ+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁Zₒ = c*tₒ+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции. Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).
Видео по теме

Совет 3: Как определить проекцию вектора

Вектор можно рассматривать как упорядоченную пару точек в пространстве или направленный отрезок. В школьном курсе аналитической геометрии часто рассматриваются разные задачи на определение его проекций - на координатные оси, на прямую, на плоскость или на другой вектор. Обычно речь идет о двух- и трехмерных прямоугольных системах координат и перпендикулярных проекциях вектора.
Как определить проекцию вектора
Инструкция
1
Если вектор ā задан координатами начальной A(X₁,Y₁,Z₁) и конечной B(X₂,Y₂,Z₂) точек, а найти требуется его проекцию (P) на оси прямоугольной координатной системы, сделать это очень просто. Посчитайте разность соответствующих координат двух точек - т.е. проекция вектора AB на ось абсцисс будет равна Px = X₂-X₁, на ось ординат Py = Y₂-Y₁, аппликат - Pz = Z₂-Z₁.
2
Для вектора, заданного парой или тройкой (в зависимости от размерности пространства) своих координат ā{X,Y} или ā{X,Y,Z} упростите формулы предыдущего шага. В этом случае его проекции на координатные оси (āx, āy, āz) равны соответствующим координатам: āx = X, āy = Y и āz = Z.
3
Если в условиях задачи координаты направленного отрезка не указаны, но дана его длина |ā| и направляющие косинусы cos(x), cos(y), cos(z), определить проекции на координатные оси (āx, āy, āz) можно как в обычном прямоугольном треугольнике. Просто перемножьте длину на соответствующий косинус: āx = |ā|*cos(x), āy = |ā|*cos(y) и āz = |ā|*cos(z).
4
По аналогии с предыдущим шагом, проекцией вектора ā(X₁,Y₁) на другой вектор ō(X₂,Y₂) можно считать его проекцию на произвольно взятую ось, параллельную вектору ō и имеющую совпадающее с ним направление. Для вычисления этой величины (ā₀) умножайте модуль вектора ā на косинус угла (α) между направленными отрезками ā и ō: ā₀ = |ā|*cos(α).
5
Если угол между векторами ā(X₁,Y₁) и ō(X₂,Y₂) неизвестен, для вычисления проекции (ā₀) ā на ō разделите их скалярное произведение на модуль ō: ā₀ = ā*ō/|ō|.
6
Ортогональной проекцией вектора AB на прямую L называют отрезок этой прямой, образованный перпендикулярными проекциями начальной и конечной точек исходного вектора. Для определения координат точек проекции используйте формулу, описывающую прямую (в общем виде a*X+b*Y+c=0), и координаты начальной A(X₁,Y₁) и конечной B(X₂,Y₂) точек вектора.
7
Аналогичным способом находите и ортогональную проекцию вектора ā на плоскость, заданную уравнением - это должен быть направленный отрезок между двумя точками плоскости. Координаты его начальной точки рассчитайте из формулы плоскости и координат начальной точки исходного вектора. Это же относится и к конечной точке проекции.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500