Совет 1: Как найти высоту в трапеции, если известны все стороны

Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого параллельны две противоположные стороны и непараллельны две другие. Если все противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, то это параллелограмм.
Вам понадобится
  • - все стороны трапеции (AB, BC, CD, DA).
Инструкция
1
Непараллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами, а параллельные - основаниями. Линия между основаниями, перпендикулярная к ним - высота трапеции. Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной. Сначала рассмотрим решение для трапеции, которая не является равнобедренной.
2
Проведите отрезок BE из точки B к нижнему основанию AD параллельно боковой стороне трапеции CD. Поскольку BE и CD параллельны и проведены между параллельными основаниями трапеции BC и DA, то BCDE - параллелограмм, и его противоположные стороны BE и CD равны. BE=CD.
3
Рассмотрите треугольник ABE. Вычислите сторону AE. AE=AD-ED. Основания трапеции BC и AD известны, а в параллелограмме BCDE противолежащие стороны ED и BC равны. ED=BC, значит, AE=AD-BC.
4
Теперь узнайте площадь треугольника ABE по формуле Герона, вычислив полупериметр. S=корень(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). В этой формуле p - полупериметр треугольника ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Для вычисления площади вам известны все необходимые данные: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
5
Далее запишите площадь треугольника ABE другим способом - она равна половине произведения высоты треугольника BH и стороны AE, к которой она проведена. S=1/2*BH*AE.
6
Выразите из этой формулы высоту треугольника, которая является и высотой трапеции. BH=2*S/AE. Вычислите её.
7
Если трапеция равнобедренная, решение можно выполнить по-другому. Рассмотрите треугольник ABH. Он прямоугольный, так как один из углов, BHA, прямой.
8
Проведите из вершины C высоту CF.
9
Изучите фигуру HBCF. HBCF прямоугольник, поскольку две его стороны - высоты, а другие две являются основаниями трапеции, то есть углы прямые, а противолежащие стороны параллельны. Это значит, что BC=HF.
10
Посмотрите на прямоугольные треугольники ABH и FCD. Углы при высотах BHA и CFD прямые, а углы при боковых стороных BAH и CDF равны, так как трапеция ABCD равнобедренная, значит, треугольники подобны. Так как высоты BH и CF равны или боковые стороны равнобедренной трапеции AB и CD равны, то и подобные треугольники равны. Значит, их стороны AH и FD тоже равны.
11
Найдите AH. AH+FD=AD-HF. Так как из параллелограмма HF=BC, а из треугольников AH=FD, то AH=(AD-BC)*1/2.
12
Далее из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора рассчитайте высоту BH. Квадрат гипотенузы AB равен сумме квадратов катетов AH и BH. BH=корень(AB*AB-AH*AH).

Совет 2: Как найти площадь трапеции

Трапеция – геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник, у которого две стороны, которые называются основаниями, параллельны, а две другие – не параллельны. Их называют боковыми сторонами трапеции. Проведенный через середины боковых сторон отрезок называется средней линией трапеции. Трапеция может иметь разные длины боковых сторон или одинаковые, в этом случае она называется равнобокой. Если одна из сторон – перпендикулярна к основанию, то трапеция будет прямоугольной. Но куда практичнее знать, как найти площадь трапеции.
Вам понадобится
  • Линейка с миллиметровыми делениями
Инструкция
1
Измерьте все стороны трапеции: AB, BC, CD и DA. Запишите результаты своих измерений.
2
На отрезке AB отметьте середину – точку K. На отрезке DA отметьте точку L, которая тоже находится на середине отрезка AD. Соедините точки K и L, полученный отрезок KL будет являться средней линией трапеции ABCD. Измерьте отрезок KL.
3
Из вершины трапеции – тоски С опустите перпендикуляр на ее основание AD о отрезок СЕ. Он будет являться высотой трапеции ABCD. Измерьте отрезок СЕ.
4
Назовем отрезок KL буквой m, а отрезок СЕ – буквой h, тогда площадь S трапеции ABCD вычислите по формуле: S=m*h, где m - средняя линия трапеции ABCD , h - высота трапеции ABCD.
5
Есть еще одна формула, позволяющая рассчитать площадь трапеции ABCD. Нижнее основание трапеции - AD назовем буквой b, а верхнее основание BC – буквой а. Площадь определим по формуле S=1/2*(a+b)*h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.
Видео по теме

Совет 3: Как найти высоту трапеции, если известна площадь

Под трапецией подразумевается четырехугольник, у которого две из четырех его сторон параллельны между собой. Параллельные стороны являются основаниями данной трапеции, две другие же являются боковыми сторонами данной трапеции. Найти высоту трапеции, если известна ее площадь, будет очень легко.
Инструкция
1
Необходимо разобраться, как можно вычислить площадь исходной трапеции. Для этого существуют несколько формул, в зависимости от исходных данных:S = ((a+b)*h)/2, где a и b - длины оснований трапеции, а h - ее высота (Высота трапеции - перпендикуляр, опущенный от одного основания трапеции к другому);
S = m*h, где m - средняя линяя трапеции (Средняя линяя - отрезок, параллельный основаниями трапеции и соединяющий середины ее боковых сторон).
2
Теперь, зная формулы для исчисления площади трапеции, можно из них вывести новые, для нахождения высоты трапеции:
h = (2*S)/(a+b);
h = S/m.
3
Для того, чтобы было понятнее, как решать подобные задачи, можно рассмотреть примеры:Пример 1: Дана трапеция, у которой площадь равна 68 см², средняя линяя которой равна 8 см, требуется найти высоту данной трапеции. Для того, чтобы решить данную задачу, требуется воспользоваться ранее выведенной формулой:
h = 68/8 = 8.5 смОтвет: высота данной трапеции составляет 8.5 смПример 2: Пусть у трапеции площадь равняется 120 см², длины оснований данной трапеции равны 8 см и 12 см соответственно, требуется найти высоту этой трапеции. Для этого надо применить одну из выведенных формул:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 смОтвет: высота заданной трапеции равна 12 см
Видео по теме
Обратите внимание
Любая трапеция обладает рядом свойств:

- средняя линяя трапеции равна полусумме ее оснований;

- отрезок, который соединяет между собой диагонали трапеции, равен половине разности его оснований;

- если через середины оснований провести прямую, то она пересечет точку пересечения диагоналей трапеции;

- в трапецию можно вписать окружность в том случае, если сумма оснований данной трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Пользуйтесь этими свойствами при решении задач.

Совет 4: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Инструкция
1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.
2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
  • даны точки найти площадь треугольника
Источники:
  • «Экзаменационные вопросы и ответы. Геометрия. 9 и 11 выпускные классы», В.В. Комарова, 2000.
  • найти площадь трапеции если известны все стороны
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше