Инструкция
1
Для получения алгоритма функционирования оптимальных измерителей, прежде всего, необходимо выбрать критерий оптимальности. Любое измерение случайно. Полное вероятностное описание случайной величины дает такой ее закон распределения, как плотность вероятности. В данном случае это апостериорная плотность, то есть такая, которая становится известной после измерения (опыта). В рассматриваемой задаче измерению подлежит частота - один из параметров радиоимпульса. Кроме того, в силу имеющейся случайности, речь может идти только о приблизительном значении параметра, то есть о его оценке.
2
В рассматриваемом случае (когда не проводится повторное измерение) рекомендуется использовать оценку, оптимальную по методу апостериорной плотности вероятности. Фактически это мода (Мо). Пусть на приемную сторону пришла реализация вида y(t)=Acosωt+n(t), где n(t) гауссовский белый шум с нулевым средним и известными характеристиками; Acosωt – радиоимпульс с постоянной амплитудой А, длительностью τ и нулевой начальной фазой. Для выяснения структуры апостериорного распределения используйте байесовский подход к решению задачи. Рассмотрите совместную плотность вероятности ξ(у,ω)=ξ(у)ξ(ω|y)=ξ(ω)ξ(y|ω). Тогда апостериорная плотность вероятности частоты ξ(ω|y)=(1/ξ(у))ξ(ω)ξ(y|ω). Здесь ξ(у) не зависит от ω явно и, поэтому априорная плотность ξ(ω) в пределах апостериорной будет практически равномерна. Нам следует следить за максимумом распределения. Значит ξ(ω|y)=kξ(y|ω).
3
Условная плотность вероятности ξ(y|ω) - распределение значений принятого сигнала, при условии, что частота радиоимпульса приняла конкретное значение, то есть прямая зависимость отсутствует и это целое семейство распределений. Тем не менее, такое распределение, называемое функцией правдоподобия, показывает - какие значения частоты наиболее правдоподобны, при фиксированном значении принятой реализации у. Кстати, это и не функция вовсе, а функционал, так как переменная целая кривая y(t).
4
Далее все просто. Имеющееся распределение гауссовское (так как использована модель гауссовского белого шума). Среднее значение (или математическое ожидание) М[y|ω] = Acosωt=Mo[ω]. Прочие параметры распределения Гаусса отнесите к постоянной С, и вспомните, что присутствующая в формуле этого распределения экспонента монотонна (значит ее максимум совпадет с максимумом показателя экспоненты). Кроме того частота – не энергетический параметр, а энергия сигнала является интегралом его квадрата. Поэтому вместо полного показателя экспоненты функционала правдоподобия, включающего -С1∫[0,τ][(y-Acosωt)^2] dt (интеграл от 0 до τ) остается анализ на максимум взаимно корреляционного интеграла η(ω). Его запись и соответствующая структурная схема измерения приведены на рисунке 1, где показан результат при некоторой частоте опорного сигнала ωi.
5
Для окончательного построения измерителя следует выяснить, какая точность (погрешность) вас устроит. Далее разбейте весь диапазон предполагаемых результатов на сопоставимое число отдельных частот ωi и используйте для измерений многоканальную схему, где выбор ответа обуславливает сигнал с максимальным выходным напряжением. Такая схема представлена на рисунке 2. Каждая отдельная «линейка» на ней соответствует рис. 1.