Совет 1: Как вычислить точки пересечения прямых

Две прямые, если они непараллельны и не совпадают, обязательно пересекаются в одной точке. Найти координаты этого места – значит вычислить точки пересечения прямых. Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть их в декартовой плоскости. Разберем на примере, как найти общую точку прямых.
Инструкция
1
Возьмите уравнения двух прямых, помня о том, что уравнение прямой в декартовой системе координат уравнение прямой выглядит как ах+ву+с=0, причем а, в, с – обычные числа, а х и у – координаты точек. Для примера найдите точки пересечения прямых 4х+3у-6=0 и 2х+у-4=0. Для этого найдите решение системы этих двух уравнений.
2
Для решения системы уравнений измените каждое из уравнений так, чтобы перед y стоял одинаковый коэффициент. Так как в одном уравнении коэффициент перед у равен 1, то просто умножьте это уравнение на число 3 (коэффициент перед у в другом уравнении). Для этого каждый элемент уравнения умножьте на 3: (2х*3)+(у*3)-(4*3)=(0*3) и получите обычное уравнение 6х+3у-12=0. Если бы коэффициенты перед у были отличны от единицы в обоих уравнениях, умножать надо было бы оба равенства.
3
Вычтите из одного уравнения другое. Для этого вычтите из левой части одного левую часть другого и точно также поступите с правой. Получите такое выражение: (4х+3у-6) - (6х+3у-12)=0-0. Так как перед скобкой стоит знак «-», все знаки в скобках поменяйте на противоположные. Получите такое выражение: 4х+3у-6 - 6х-3у+12=0. Упростите выражение и вы увидите, что переменная у исчезла. Новое уравнение выглядит так: -2х+6=0. Перенесите число 6 в другую часть уравнения, и из получившегося равенства -2х=-6 выразите х: х=(-6)/(-2). Таким образом, вы получили х=3.
4
Подставьте значение х=3 в любое уравнение, например, во второе и получите такое выражение: (2*3)+у-4=0. Упростите и выразите у: у=4-6=-2.
5
Запишите полученные значения х и у в виде координат точки (3;-2). Эти и будет решение задачи. Проверьте полученное значение методом подстановки в оба уравнения.
6
Если прямые не даны в виде уравнений, а даны просто на плоскости, найдите координаты точки пересечения графически. Для этого продлите прямые так, чтобы они пересеклись, затем опустите на оси ох и оу перпендикуляры. Пересечение перпендикуляров с осями ох и оу, будет координатами этой точки, посмотрите на рисунок и вы увидите, что координаты точки пересечения х=3 и у=-2, то есть точка (3;-2) и есть решение задачи.

Совет 2: Как найти координаты точки пересечения прямых

Чтобы найти точку пересечения прямых, достаточно рассмотреть их в плоскости, где они расположены. Далее необходимо составить уравнение этих прямых и, решив его, вы получите искомые результаты.
Инструкция
1
Запомните, что общее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид Ax+By+C = 0. Если прямые пересекаются, то уравнение первой из них можно записать соответственно как Ax+By+C = 0, а второй – в виде Dx+Ey+F = 0. Задайте все имеющиеся коэффициенты: A, B, C, D, E, F. Для нахождения точки пересечения прямых необходимо решить систему данных линейных уравнений. Сделать это можно несколькими способами.
2
Умножьте первое уравнение на E, а второе - на B. После этого уравнения должны выглядеть как: DBx+EBy+FB = 0, AEx+BEy+CE = 0. Далее вычтите второе уравнение из первого, чтобы получилось: (AE-DB)x = FB-CE. Вынесите коэффициент: x = (FB-CE)/(AE-DB).
3
Умножьте на D первое уравнение данной системы, а второе - на A, после чего нужно вновь вычесть второе из первого. В результате должно получиться уравнение: y = (CD-FA)/(AE-DB). Найдите x и y, и вы получите искомые координаты точки пересечения прямых.
4
Попробуйте записать уравнения прямых через угловой коэффициент k, который равен тангенсу угла пересечения прямых. При этом у вас получится уравнение: y = kx+b. Задайте для первой прямой равенство y = k1*x+b1, а для второй - y = k2*x+b2.
5
Приравняйте правые части двух уравнений, чтобы получилось: k1*x+b1 = k2*x+b2. Далее вынесите переменную: x = (b1-b2)/(k2-k1). Подставьте значение x в оба уравнения и получите: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Координаты точки пересечения будут задавать значения x и y.
Обратите внимание
Система обладает только одним классическим решением, поскольку две не параллельные и несовпадающие прямые имеют лишь одну точку пересечения. Если две прямые совпадают или параллельны, то у них нет общих точек или же их бесконечно много. В таких случаях k1 = k2, и знаменатели у координат точек пересечения всегда обращаются в нуль, поэтому классического решения данной системы не существует.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500