Совет 1: Как найти площадь круга

Задачи на вычисление площади той или иной геометрической фигуры приходится решать школьнику и студенту, землемеру и архитектору, закройщику и токарю. Площадь круга можно вычислить разными способами, в зависимости от того, какими данными вы располагаете.

Основная формула


Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Основным показателем и для окружности, и для круга является радиус. Если он задан, площадь круга можно вычислить по основной формуле S=πR2, где S – площадь круга, R – радиус окружности, ограничивающей круг, а π – константа, равная 3,14. В условиях задачи может быть дана длина окружности. Она равна L=2πR. В этом случае сначала необходимо вычислить радиус, разделив заданную величину L на 2π, то есть воспользоваться формулой R=L/2π.

По сторонам вписанного четырехугольника


В окружность, ограничивающую круг, может быть вписан четырехугольник, сумма противолежащих углов которого составляет 180°, то есть это квадрат или прямоугольник. В этом случае диаметр описанной вокруг четырехугольника окружности является одновременно диагональю. Если в условиях заданы размеры сторон четырехугольника, найти эту диагональ не составит особого труда, воспользовавшись теоремой Пифагора. Диагональ делит квадрат или прямоугольник на два прямоугольных треугольника, то есть является гипотенузой каждого из этих треугольников. Соответственно, найти ее можно, сложив квадраты сторон четырехугольника, то есть по формуле d2=a2+b2. Чтобы найти площадь круга, даже не нужно из полученного результата извлекать квадратный корень, поскольку R=d/2. Чтобы найти квадрат радиуса, достаточно квадрат диаметра разделить на 4.


По параметрам вписанного в окружность треугольника


Способ решения этого варианта задачи зависит от того, какой треугольник вписан и какие его параметры заданы. Если треугольник прямоугольны, алгоритм решения будет таким же, как для квадрата или прямоугольника, поскольку сторона, противолежащая прямому углу, всегда является диаметром описанной окружности. Если даны размеры катетов, возведите каждый из них в квадрат и найдите сумму, а затем полученный результат разделите на 4 и умножьте на число π. Если треугольник равносторонний, придется выполнить несколько дополнительных построений, чтобы в итоге получились прямоугольные треугольники, параметры которых вам известны. Например, в окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС, сторона которого вам задана. Проведите высоты AN, ВM и СQ. Рассмотрите, например, прямоугольный треугольник AQO. Вам известна его гипотенуза AQ, которая равна половине стороны исходного треугольника, а также все углы, так что найти длину отрезка AQ, который одновременно является радиусом круга, площадь которого вам надо найти, можно по теореме синусов или косинусов.

Совет 2: Как находить площадь квадрата

Найти площадь такой фигуры, как квадрат, можно даже пятью способами : по стороне, периметру, диагонали, радиусам вписанной и описанной окружности.
Инструкция
1
Если известна длина стороны квадрата, то его площадь равна квадрату (второй степени) стороны.
Пример 1.
Пусть имеется квадрат со стороной 11 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

а - длину стороны квадрата,

S – площадь квадрата.
Тогда:
S=а*а=а²=11²=121 мм²
Ответ: Площадь квадрата со стороной 11 мм – 121 мм².
2
Если известен периметр квадрата, то его площадь равна шестнадцатой части квадрата (второй степени) периметра.
Следует из того, что все (четыре) стороны квадрата имеют одинаковую длину.
Пример 2.
Пусть имеется квадрат с периметром 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

Р - периметр квадрата,

S – площадь квадрата.
Тогда:
S=(Р/4)²=Р²/4²=Р²/16=12²/16=144/16=9 мм²
Ответ: Площадь квадрата с периметром 12 мм – 9 мм².
3
Если известен радиус вписанной в квадрат окружности, то его площадь равна учетверенному (умноженному на 4) квадрату (второй степени) радиуса.
Следует из того, что радиус вписанной окружности равен половине длины стороны квадрата.
Пример 3.
Пусть имеется квадрат с радиусом вписанной окружности 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

r – радиус вписанной окружности,

S – площадь квадрата,

а - длину стороны квадрата.
Тогда:
S=а²=(2*r)=4*r²=4*12²=4*144=576 мм²
Ответ: Площадь квадрата с радиусом вписанной окружности 12 мм – 576 мм².
4
Если известен радиус описанной вокруг квадрата окружности, то его площадь равна удвоенному (умноженному на 2) квадрату (второй степени) радиуса.
Следует из того, что радиус описанной окружности равен половине диаметра квадрата.
Пример 4.
Пусть имеется квадрат с радиусом описанной окружности 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

R – радиус описанной окружности,

S – площадь квадрата,

а - длину стороны квадрата,

d – диагональ квадрата

Тогда:
S=а²=d²/2=(2R²)/2=2R²=2*12²=2*144=288 мм²
Ответ: Площадь квадрата с радиусом описанной окружности 12 мм – 288 мм².
5
Если известна диагональ квадрата, то его площадь равна половине квадрата (второй степени) длины диагонали.
Следует из теоремы Пифагора.
Пример 5.
Пусть имеется квадрат с диагональю длиной 12 мм.

Определите его площадь.
Решение.
Обозначим через:

S – площадь квадрата,

d – диагональ квадрата,

а - длину стороны квадрата.
Тогда, так как по теореме Пифагора: а²+а²=d²
S=а²=d²/2=12²/2=144/2=72 мм²
Ответ: Площадь квадрата с диагональю 12 мм – 72 мм².
Видео по теме
Обратите внимание
Обозначим сторону квадрата как "b". По определению площадь - это произведение длины и ширины. Длина квадрата равняется b, ширина тоже. Следовательно, площадь квадрата можно приравнять к квадрату его стороны: S=b2.
Совет полезен?
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500