Совет 1: Как найти длину стороны

Задачи на нахождение длины сторон являются одними из самых распространенных в курсе геометрии. Алгоритм их решения зависит от исходных данных, особенностей рассматриваемой фигуры.
Вам понадобится
  • - тетрадь;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - ручка;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Простейшие задачи на нахождение длины сторон – это задачи с известным периметром (это сумма длин всех сторон).

Например, периметр параллелограмма АВСD равен 22 см, АВ = 4, найти ВС. Т.к. в параллелограмме противоположные стоны равны, АВ = СD = 4.
2
Решение:

Отсюда ВС = (22 – (АВ *2))/2

ВС = (22 – (4*2))/2

ВС = 7
3
Так же часто встречаются задачи на нахождение длины сторон через площадь.

Например, площадь прямоугольника АВСD равна 24 см, АВ = 3 см, найти ВС. В прямоугольнике противоположные стоны так же равны, поэтому АВ = СD = 3.
4
Решение:

S(прям.) = а*в

S = АВ * ВС

Отсюда ВС = S/АВ

ВС = 8
5
Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, стороны которого равны между собой, а углы между ними составляют 90 градусов. Если известна площадь квадрата, то можно найти длину его стороны.

Например, S квадрата АВСD = 64 см^2. Найти АВ.
6
Решение:

S(кв.) = а^2

а = √S

а = √64

а = 8
7
Но если неизвестна ни площадь не периметр, а лишь длина одной из сторон, то решение усложняется. Например, в треугольнике АВС 1/2АС = 4 см, угол САВ = АСВ, ВМ – биссектриса, равная 10 см. Найти АВ.
8
Решение:

Если угол САВ = углу АСВ, то треугольник АВС – равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Т.к. ВМ – высота, тот угол ВМА = 90, отсюда треугольник АВМ – прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы равен сумме квадратов катетов (по теореме Пифагора).

Следовательно, АВ ^2 = АМ ^2 + ВМ ^2

АВ ^2 = 16 + 100

АВ = √116

Совет 2: Как найти сторону треугольника, зная сторону и угол

В общем случае знания длины одной стороны и одного угла треугольника недостаточно для определения длины другой стороны. Этих данных может быть достаточно для определения сторон прямоугольного треугольника, а также равнобедренного треугольника. В общем же случае необходимо знать еще один параметр треугольника.
Вам понадобится
  • Стороны треугольника, углы треугольника
Инструкция
1
Для начала можно рассмотреть частные случаи и начать со случая прямоугольного треугольника. Если известно, что треугольник прямоугольный и известен один из его острых углов, то по длине одной из сторон можно найти и лругие стороны треугольника.

Для нахождения длины других сторон необходимо знать, какая сторона треугольника задана - гипотенуза или какой-то из катетов. Гипотенуза лежит против прямого угла, катеты образуют прямой угол.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ABC. Пусть задана его гипотенуза AC и, например, острый угол BAC. Тогда катеты треугольника будут равны: AB = AC*cos(BAC) (прилежащий катет к углу BAC), BC = AC*sin(BAC) (катет, противолежащий углу BAC).
2
Пусть теперь задан тот же угол BAC и, например, катет AB. Тогда гипотенуза AC этого прямоугольного треугольника равна: AC = AB/cos(BAC) (соответственно, AC = BC/sin(BAC)). Другой катет BC находится по формуле BC = AB*tg(BAC).
3
Другой частный случай - если треугольник ABC равнобедренный (AB = AC). Пусть задано основание BC. Если задан угол BAC, то боковые стороны AB и AC можно найти по формуле: AB = AC = (BC/2)/sin(BAC/2).

Если задан угол при основании ABC или ACB, то AB = AC = (BC/2)/cos(ABC).
4
Пусть задана одна из боковых сторон AB или AC. Если известен угол BAC, то BC = 2*AB*sin(BAC/2). Если известен угол ABC или угол ACB при основании, то BC = 2*AB*cos(ABC).
5
Теперь можно рассмотреть общий случай треугольника, когда длины одной стороны и одного угла недостаточно для нахождения длины другой стороны.

Пусть в треугольнике ABC задана сторона AB и один из прилежащих к ней углов, например, угол ABC. Тогда, зная еще сторону BC, по теореме косинусов можно найти сторону AC. Она будет равна: AC = sqrt((AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC))
6
Пусть теперь известна сторона AB и противолежащий ей угол ACB. Пусть также известен, например, угол ABC. По теореме синусов AB/sin(ACB) = AC/sin(ABC). Следовательно, AC = AB*sin(ABC)/sin(ACB).

Совет 3: Как найти биссектрису угла

Биссектрисой называется такой луч, который, будучи проведенным из вершины угла, делит его пополам. Будучи проведенной из вершины угла, биссектриса становится отрезком, который делит образованный двумя сторонами угол на 2 равные части. Длину этого отрезка можно вычислить разными путями.
Вам понадобится
  • Данные о сторонах и углах треугольника.
Инструкция
1
Имеется треугольник ABC, который обладает сторонами a,b,c. Помимо этого, у него есть CK - биссектриса, проведенная из точки С к стороне AB, p - это 1/2 периметра треугольника ABC, AK и KC - отрезки, получившиеся из-за деления биссектрисой стороны AB, ?, ? и ? - углы, принадлежащие вершинам A, B, С соответственно, h - высота, которая проведена из точки C к противолежащей стороне AB. Зная эти данные, вычислить длину биссектрисы можно, используя следующие равенства:
1) CK = v(a*b(a+b+c)*(a+b-c))/a+b=v(4*a*b*p(p-c))/a+b;
2) CK = v(a*b - AK*KC);
3) CK = (2*a*b*cos(?/2))/a+b;
4) CK = h/cos(?-?/2).
Видео по теме

Совет 4: Как найти биссектрису

Под биссектрисой понимается луч, который делит пополам угол, из которого он опущен. Для того, чтобы рассчитать ее длину, можно использовать несколько подходов
Вам понадобится
  • Знать, по мере необходимости, все стороны, углы и высоту треугольника.
Инструкция
1
Допустим, дан треугольник ABC, в котором a, b и с являются его сторонами, lc -это биссектриса, которая проведена к стороне c, p - это половина периметра треугольника ABC, al,bl - это те длины, которые получились в результате разделения биссектрисой стороны AB, α,β,γ - это углы, которые получаются из вершин A,B,C соответственно, а hc - это высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Тогда расчет длины биссектрисы можно вести по следующим формулам:
1) lc = √(a*b(a+b+c)*(a+b-c))/a+b=√(4*a*b*p(p-c))/a+b;

2) lc = √(a*b - al*bl);

3) lc = (2*a*b*cos(γ/2))/a+b;

4) lc = hc/cos(α-β/2)
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500