Совет 1: Как решать системы уравнений

Решить систему уравнений несложно, если воспользоваться основными способами решения систем линейных уравнений: методом подстановки и методом сложения.
Инструкция
1
Рассмотрим методы решения системы уравнений на примере системы из двух линейных уравнений, имеющих два неизвестных значения. В общем виде такая система записывается следующим образом (слева уравнения объединяются фигурной скобкой):

aх+bу=c

dх+eу=f, где

а, b, c, d, е, f - коэффициенты (конкретные числа), а х и у, как обычно - неизвестные. Числа а, b, с, d называются коэффициентами при неизвестных, а с и f - свободными членами. Решение такой системы уравнений находится двумя основными методами.

Решение системы уравнений методом подстановки.

1. Берем первое уравнение и выражаем одно из неизвестных (х) через коэффициенты и другое неизвестное (у):

х=(с-by)/a

2. Подставляем полученное для х выражение во второе уравнение:

d(c-by)/a+ey=f

3. Решая полученное уравнение, находим выражение для у:

у=(af-cd)/(ae-bd)

4. Подставляем полученное выражение для у в выражение для х:

х=(се-bf)/(ae-bd)

Пример: требуется решить систему уравнений:

3х-2у=4

х+3у=5

Находим значение х из первого уравнения:

х=(2у+4)/3

Подставляем полученное выражение во второе уравнение и получаем уравнение с одной переменной (у):

(2у+4)/3+3у=5, откуда получаем:

у=1

Теперь подставляем найденное значение у в выражения для переменной х:

х=(2*1+4)/3=2

Ответ: х=2, у=1.
2
Решение системы уравнений методом сложения (вычитания).

Этот метод сводится к умножению обеих частей уравнений на такие числа (параметры), чтобы в результате коэффициенты у одной из переменных совпали (возможно с противоположным знаком).

В общем случае, обе части первого уравнения нужно умножить на (-d), а обе части второго уравнения на а. В результате получаем:

-аdx-bdу=-сd

adx+aey=af

Сложив полученные уравнения, получим:

-bdу+аеу=-сd+аf,

откуда получаем выражение для переменной у:

у=(af-cd)/(ae-bd),

подставляя выражение для у в любое уравнение системы, получаем:

ах+b(af-cd)/(ae-bd)=c?

из этого уравнения находим второе неизвестное:

х=(се-bf)/(ae-bd)

Пример. Решить методом сложения или вычитания систему уравнений:

3х-2у=4

х+3у=5

Умножим первое уравнение на (-1), а второе на 3:

-3х+2у=-4

3х+9у=15

Сложив (почленно) оба уравнения, получаем:

11у=11

Откуда получаем:

у=1

Подставляем полученное значение для у в любое из уравнений, например, во второе, получаем:

3х+9=15, откуда

х=2

Ответ: х=2, у=1.

Совет 2: Как решать системы линейных уравнений

Система линейных уравнений содержит уравнения, в которых все неизвестные содержатся в первой степени. Есть несколько способов решения такой системы.
Инструкция
1
Метод подстановки или последовательного исключения.Подстановку используют в системе с небольшим количеством неизвестных. Это простейший метод решения для несложных систем. Сначала из первого уравнения выражаем одно неизвестное через другие, подставляем это выражение во второе уравнение. Выражаем из преображенного второго уравнения второе неизвестное, подставляем полученное в третье уравнение и т.д. до тех пор, пока не вычислим последнее неизвестное. Затем подставляем его значение в предыдущее уравнение и узнаем предпоследнее неизвестное и т.д. Рассмотрим пример системы с двумя неизвестными.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Выразим из первого уравнения x: x = 3 - y. Подставим во второе уравнение: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Подставляем в первое уравнение системы (или в выражение для x, что одно и то же): x + 1 - 3 = 0. Получим, что x = 2.
2
Метод почленного вычитания (или сложения).Этот метод часто позволяет сократить время решения системы и упростить вычисления. Состоит он в том, чтобы проанализировав коэффициенты при неизвестных таким образом сложить (или вычесть) уравнения системы, чтобы исключить часть неизвестных из уравнения. Рассмотрим пример, возьмем ту же систему, что и в первом методе.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко видеть, что при y стоят одинаковые по модулю коэффициенты, но с разным знаком, поэтому если мы сложим два уравнения почленно, то yдастся исключить y. Выполним сложение: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 или 3x - 6 = 0. Таким образом, x = 2. Подставив это значение в любое уравнение, найдем y.
Можно, наоборот, исключить x. Коэффициенты при x одинаковы по знаку, поэтому будем вычитать одно уравнение из другого. Но в первом уравнении коэффициент при x - 1, а во втором - 2, поэтому просто вычитанием не удастся исключить x. Умножим первое уравнение на 2, получим такую систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Теперь почленно вычтем из первого уравнения второе: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 или, приведя подобные, 3y - 3 = 0. Таким образом y = 1. Подставив в любое уравнение, найдем x.
Видео по теме

Совет 3: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение, в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными. Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
  • - линейное уравнение с двумя переменными;
  • - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
1
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
2
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
3
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи.
4
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, возраст, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество детей, яблок, деревьев и т.д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
5
Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.
Источники:
  • как решить уравнение с одной переменной

Совет 4: Как решать уравнения с параметрами

При решении задач с параметрами главное – понять условие. Решить уравнение с параметром – значит записать ответ для любого из возможных значений параметра. Ответ должен отражать перебор всей числовой прямой.
Инструкция
1
Простейший тип задач с параметрами – задачи на квадратный трехчлен A·x²+B·x+C. Параметрической величиной может стать любой из коэффициентов уравнения: A, B или C. Найти корни квадратного трехчлена для всякого из значений параметра – значит решить квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0, перебрав каждое из возможных значений нефиксированной величины.
2
В принципе, если в уравнении A·x²+B·x+C=0 является параметром старший коэффициент A, то оно будет квадратным лишь тогда, когда A≠0. При A=0 оно вырождается в линейное уравнение B·x+C=0, имеющее один корень: x=-C/B. Поэтому проверка условия A≠0, A=0 должна идти первым пунктом.
3
Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте D=B²-4·A·C. При D>0 оно имеет два различных корня, при D=0 только один. Наконец, если D
4
Часто для решения задач с параметрами применяется теорема Виета. Если квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2, то для них верна система: x1+x2=-B/A, x1·x2=C/A. Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называется приведенным: x²+M·x+N=0. Для него теорема Виета имеет упрощенный вид: x1+x2=-M, x1·x2=N. Стоит отметить, что теорема Виета верна при наличии как одного, так и двух корней.
5
Те же корни, найденные с помощью теоремы Виета, можно подставить обратно в запись уравнения: x²-(x1+x2)·x+x1·x2=0. Не путайте: здесь x - переменная, x1 и x2 - конкретные числа.
6
Часто помогает при решении метод разложения на множители. Пусть уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2. Тогда верно тождество A·x²+B·x+C=A·(x-x1)·(x-x2). Если корень единственный, то можно просто сказать, что x1=x2, и тогда A·x²+B·x+C=A·(x-x1)².
7
Пример. Найдите все числа p и q, при которых корни уравнения x²+p·+q=0 равны p и q.Решение. Пусть p и q удовлетворяют условию задачи, то есть, являются корнями. Тогда по теореме Виета:p+q=-p,pq=q.
8
Система эквивалентна совокупности p=0, q=0, или p=1, q=-2. Теперь осталось произвести проверку - убедиться, что полученные числа действительно удовлетворяют условию задачи. Для этого нужно просто подставить числа в исходное уравнение.Ответ: p=0, q=0 или p=1, q=-2.
Источники:
  • «Математика – абитуриенту», В.В. Ткачук, 2008.

Совет 5: Как решать систему уравнений

Приступая к решению системы уравнений, разберитесь с тем, какие это уравнения. Достаточно хорошо изучены способы решения линейных уравнений. Нелинейные уравнения чаще всего не решаются. Имеются лишь одни частные случаи, каждый из которых практически индивидуален. Поэтому изучение приемов решения следует начать с уравнений именно линейных. Такие уравнения можно решать даже чисто алгоритмически.
Инструкция
1
Начните процесс обучения с изучения способов решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными X и Y методом исключения. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Коэффициенты уравнений обозначены индексами, указывающими их месторасположения. Так коэффициент a21 подчеркивает тот факт, что он записан во втором уравнении на первом месте. В общепринятых обозначениях система записывается уравнениями расположенными друг под другом совместно обозначаемых фигурной скобкой справа или слева (подробнее см. рис. 1а).
Как решать систему уравнений
2
Нумерация уравнений произвольна. Выберите из них самое простое, например то, в котором перед одной из переменных стоит коэффициент 1 или по крайней мере целое число. Если это уравнение (1), то далее выразите, скажем, неизвестное Y через X (случай исключения Y). Для этого преобразуйте (1) к виду a12*Y=b1-a11*X (или a11*X=b1-a12*Y при исключении Х)), а затем Y=(b1-a11*X)/a12. Подставив последнее в уравнение (2) запишите a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Решите это уравнение относительно X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) или X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Воспользовавшись найденной связью между Y и Х, окончательно получите и второе неизвестное Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).
3
Если бы система была задана с конкретными числовыми коэффициентами, то и выкладки были бы менее громоздки. Зато общее решение дает возможность рассмотреть тот факт, что знаменатели при найденных неизвестных совершено одинаковы. Да и у числителей просматриваются некоторые закономерности их построения. Если размерность системы уравнений была бы большей двух, то метод исключения приводил бы к весьма громоздким выкладкам. Чтобы их избежать, разработаны чисто алгоритмические способы решения. Самый простой из них алгоритм Крамера (формулы Крамера). Для их изучения следует узнать, что такое общая система уравнений из n уравнений.
4
Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1a). В ней аij – коэффициенты системы,
хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , п). Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 1b). По методу Крамера каждое неизвестное xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая систем второго и третьего порядка представлен на рис. 2.
Как решать систему уравнений
Видео по теме
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500