Совет 1: Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов равен 90°. Очевидно, что катеты прямоугольного треугольника являются двумя его высотами. Найдем третью высоту, опущенную из вершины прямого угла к гипотенузе.
Вам понадобится
  • чистый лист бумаги;
  • карандаш;
  • линейка;
  • учебник по геометрии.
Инструкция
1
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. Опустим из этого угла высоту h на гипотенузу AC, точку пересечения высоты с гипотенузой обозначим D.
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
2
Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠ADB = 90°, ∠BAD - общий. Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Берем первое и последнее соотношение пропорции и получаем, что AD = AB²/AC.
3
Поскольку треугольник ADB прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляем в это равенство AD. Получается, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, что то же, BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC² - AB² = BC², тогда получим BD² = AB²BC²/AC² или, извлекая корень из обеих частей равенства, BD = AB*BC/AC.
4
С другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠BDC = 90°, ∠DCB - общий. Из подобия этих треугольников получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Из этой пропорции выражаем DC через стороны изначального прямоугольного треугольника. Для этого рассматриваем второе равенство в пропорции и получаем, что DC = BC²/AC.
5
Из соотношения, полученного в шаге 2, имеем, что AB² = AD*AC. Из шага 4 имеем, что BC² = DC*AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC или, как говорят, среднему геометрическому частей, на которые эта высота разбивает гипотенузу треугольника.

Совет 2: Как построить высоту треугольника

Высотой треугольника называется прямая, опущенная из одной из его вершин, перпендикулярно на прямую, содержащую сторону треугольника, противолежащую этой вершине треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты.
Инструкция
1
Для того, чтобы построить высоту остроугольного треугольника, проведите из его вершины прямую, перпендикулярную противолежащей стороне. Отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикулярных прямых и вершину, и будет являться вершиной треугольника, опущенной из заданной высоты. При этом все три высоты остроугольного треугольника должны лежать внутри треугольника.
2
В случае тупоугольного треугольника, для того, чтобы построить высоты, опущенные из двух его острых углов, необходимо продолжить прямые, содержащие стороны, прилегающие к тупому углу. Высота, опущенная из острого угла тупоугольного треугольника, лежит на продолжении противолежащей вершине стороны, за пределами треугольника.
3
Если один из углов треугольника прямой, то стороны треугольника, прилегающие к прямому углу (катеты) уже являются его высотами (совпадают с высотами треугольника). Третья высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, лежит внутри пределов сторон треугольника.
4
Для того чтобы построить высоту любого треугольника возьмите циркуль и начертите окружности из двух его вершин, радиусом, равным прилегающей стороне треугольника. Окружности буду иметь две точки пересечения, соединив которые, вы получите прямую, содержащую высоту треугольника, проведенную к его третьей вершине.
Совет полезен?
Все три прямые, содержащие высоты любого треугольника имеют общую точку – точку пересечения. Данная точка называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника и лежит на отрезках, являющихся высотами треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентром треугольника является одна из его вершин - вершина прямого угла треугольника. В тупоугольном треугольнике точка пересечения его высот лежит за пределами треугольника, вне отрезков, соединяющих соответствующие вершины треугольников с точками пересечения высоты треугольника и прямой содержащей его противолежащую сторону.
Источники:
  • высоты остроугольного треугольника
Видео по теме
Обратите внимание
Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Полезный совет
В прямоугольном треугольнике оба катета выступают в роли непосредственно самих высот.
Источники:
  • Прямоугольный треугольник
  • найдите высоту проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500