Совет 1: Как найти высоту в правильной пирамиде

Частный случай конуса называется пирамидой, если в основании фигуры лежит многоугольник. Если этот многоугольник является выпуклым, все его стороны имеют одинаковую длину, а вершина многогранника проецируется в центр основания, пирамиду называют правильной. Боковые грани такой геометрической фигуры имеют форму равнобедренного треугольника. Расчет высоты правильной пирамиды - задача относительно несложная.
Инструкция
1
Если в условиях задачи приведена площадь основания (s) и объем (V) пирамиды, формула для вычисления высоты многогранника (H) будет очень проста - разделите утроенный объем на площадь: H = 3*V/s.
2
При квадратном основании пирамиды с известной длиной стороны (a) и заданном объеме (V) замените площадь в формуле расчета из предыдущего шага на возведенную в квадрат длину стороны: H = 3*V/a².
3
Формулу из первого шага можно трансформировать для вычисления высоты (H) правильной пирамиды c основанием любой формы. Исходные данные, которые в ней должны быть задействованы - объем (V) многогранника, длина ребра в основании (a) и количество вершин при основании (n). Площадь правильного многоугольника определяется четвертью произведения количества вершин на квадрат длины стороны и котангенс угла, равного соотношению 180° и количества вершин: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Подставьте это выражение в формулу из первого шага: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).
4
Апофема (h) любой боковой грани правильной пирамиды образует с радиусом вписанной в основание окружности (r) и высотой правильной пирамиды (H) прямоугольный треугольник. Если радиус и апофема известны, используйте в расчетах теорему Пифагора. Так как искомая величина здесь - катет, из теоремы вытекает, что вам нужно извлечь квадратный корень из разности между квадратом апофемы (гипотенузы) и квадратом радиуса (второго катета): H = √(h²-r²).
5
При известной апофеме (h) и угле наклона (α) боковой грани к основанию правильной пирамиды в формуле вычисления высоты (H) можно использовать определение синуса через острые углы прямоугольного треугольника. Рассмотрите тот же треугольник, что и в предыдущем шаге. Синус угла наклона апофемы к основанию по определению равен отношению длины противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (апофеме). Из этого вытекает, что для расчета искомой величины достаточно умножить апофему на синус угла наклона: H = h*sin(α).

Совет 2: Как найти высоту правильной треугольной пирамиды

Пирамида - это объемная фигура, каждая из боковых граней которой имеет форму треугольника. Если и в основании тоже лежит треугольник, а все ребра имеют одинаковую длину, то это - правильная треугольная пирамида. У этой объемной фигуры четыре грани, поэтому часто ее называют «тетраэдром» - от греческого слова «четырехгранник». Перпендикулярный основанию отрезок прямой линии, проходящей через вершину такой фигуры, называется высотой пирамиды.
Инструкция
1
Если известна площадь основания тетраэдра (S) и его объем (V), то для вычисления высоты (H) можно задействовать общую для всех типов пирамид формулу, связывающую эти параметры. Делите утроенный объем на площадь основания - полученный результат и будет высотой пирамиды: H = 3*V/S.
2
Если площадь основания неизвестна из условий задачи, а даны лишь объем (V) и длина ребра (a) многогранника, то недостающую переменную в формуле из предыдущего шага можно заменить ее эквивалентом, выраженным через длину ребра. Площадь правильного треугольника (он, как вы помните, лежит в основании пирамиды рассматриваемого типа) равна одной четверти от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину стороны. Подставьте это выражение вместо площади основания в формулу из предыдущего шага, и получите такой результат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).
3
Поскольку объем тетраэдра тоже можно выразить через длину ребра, то из формулы вычисления высоты фигуры можно вообще убрать все переменные, оставив лишь сторону ее треугольной грани. Объем этой пирамиды вычисляется делением на 12 произведения квадратного корня из двойки на возведенную в куб длину грани. Подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага, и получите в результате: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a*√⅔ = ⅓*a*√6.
4
Правильную треугольную призму можно вписать в сферу, а зная только ее радиус (R) можно вычислить и высоту тетраэдра. Длина ребра равна учетверенному соотношению радиуса и квадратного корня из шестерки. Замените этим выражением переменную a в формуле из предыдущего шага и получите такое равенство: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
5
Аналогичную формулу можно получить и зная радиус (r) вписанной в тетраэдр окружности. В этом случае длина ребра будет равна двенадцати соотношениям между радиусом и квадратным корнем из шестерки. Подставьте это выражение в формулу из третьего шага: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500