Совет 1: Как в окружность вписать правильный треугольник

Согласно определению, если все вершины многоугольника принадлежат окружности, он называется «вписанным». Построить на бумаге такую фигуру несложно, особенно если все составляющие ее стороны имеют одинаковую длину. Для правильного треугольника такое построение может быть выполнено несколькими способами, а выбор наиболее удобного зависит от имеющихся инструментов.
Вам понадобится
  • Бумага, карандаш, циркуль, линейка, калькулятор, транспортир.
Инструкция
1
Если у вас есть возможность использовать при построении транспортир, начните с выбора произвольной точки на окружности, которая должна стать одной из вершин правильного треугольника. Обозначьте ее, например, буквой А.
2
Начертите вспомогательный отрезок, соединив точку А с центром окружности. К этому отрезку приложите транспортир таким образом, чтобы нулевое деление совпало с центром круга, и поставьте вспомогательную точку у отметки 120°. Через эту точку проведите еще один вспомогательный отрезок с началом в центре круга и окончанием на пересечении с окружностью. Точку пересечения обозначьте буквой В - это вторая вершина вписанного треугольника.
3
Повторите предыдущий шаг, но транспортир прикладывайте ко второму вспомогательному отрезку, а точку пересечения с окружностью обозначьте буквой С. Больше транспортир не понадобится.
4
Соедините точки А и В, В и С, С и А. На этом построение правильного треугольника вписанного в окружность будет завершено.
5
Если транспортира нет, но есть циркуль и калькулятор, то начните с вычисления длины стороны треугольника. Вы наверняка знаете, что ее можно выразить через радиус описанной окружности, умножив его на отношение тройки к квадратному корню из тройки, то есть примерно на 1,732050807568877. Округлите это число до нужной степени точности и умножьте на радиус круга.
6
Отметьте произвольную точку на окружности и обозначьте ее буквой А - это первая вершина правильного треугольника.
7
Отложите на циркуле найденную на пятом шаге длину стороны треугольника и начертите вспомогательный круг с центром в точке А. Точки пересечения двух окружностей обозначьте буквами В и С - это две другие вершины вписанного в круг правильного треугольника.
8
Соедините точки А и В, В и С, С и А и построение будет завершено.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

Если окружность касается всех трех сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.
Вам понадобится
  • линейка, циркуль
Инструкция
1
В любой треугольник можно вписать окружность. Такая окружность будет единственно возможной.
2




Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;

Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;

Тоже самое проделывают с любым другим углом;
Как вписать треугольник в окружность
3
Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S - площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.
Источники:
  • http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Совет 3: Как построить правильный треугольник

Правильный треугольник - тот, у которого все стороны обладают одинаковой длиной. Исходя из этого определения, построение подобной разновидности треугольника является нетрудной задачей.
Вам понадобится
  • Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш
Инструкция
1
Взять листок чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и отметить на бумаге три точки так, чтобы они находились на одинаковом друг от друга расстоянии (рис.1)
рис.1
2
С помощью линейки соединить отмеченные на листке точки последовательно, друг за другом так, как это показано на рисунке 2.
рис.2
Обратите внимание
В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.
Совет полезен?
Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это означает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Любой правильный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное утверждение не верно.

Совет 4: Как находить площадь треугольника, вписанного в окружность

Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от того, какая величина известна из условия задачи. Если даны основание и высота треугольника, площадь можно найти путем вычисления произведения половины основания на высоту. При втором способе площадь вычисляется через описанную окружность около треугольника.
Инструкция
1
В задачах по планиметрии приходится находить площадь многоугольника, вписанного в круг или описанного около него. Многоугольник считается описанным около круга, если он находится снаружи, а его стороны касаются окружности. Многоугольник, находящийся внутри круга, считается вписанным в него, если его вершины лежат на окружности круга. Если в задаче дан треугольник, который вписан в окружность, все три его вершины касаются окружности. В зависимости от того, какой именно рассматривается треугольник, и выбирается способ решения задачи.
2
Наиболее простой случай возникает, когда в окружность вписан правильный треугольник. Поскольку у такого треугольника все стороны равны, радиус окружности равен половине его высоты. Поэтому, зная стороны треугольника, можно найти его площадь. Вычислить эту площадь в данном случае можно любым из способов, например:
R=abc/4S, где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника

S=0,25(R/abc)
3
Другая ситуация возникает, когда треугольник - равнобедренный. Если основание треугольника совпадает с линией диаметра окружности или диаметр одновременно является и высотой треугольника, площадь можно вычислить по следующим образом:
S=1/2h*AC, где AC - основание треугольника
Если известен радиус окружности равнобедренного треугольника, его углы, а также основание, совпадающее с диаметром окружности, по теореме Пифагора может быть найдена неизвестная высота. Площадь треугольника, основание которого совпадает с диаметром окружности, равна:
S=R*h
В другом случае, когда высота равна диаметру окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, его площадь равна:
S=R*AC
4
В ряде задач в окружность вписан прямоугольный треугольник. В таком случае, центр окружности лежит на середине гипотенузы. Зная углы и найдя основание треугольника, можно вычислить площадь любым из описанных выше способов.
В остальных случаях, особенно, когда треугольник является остроугольным или тупоугольным, применима лишь первая из указанных выше формул.

Совет 5: Как вписать в окружность многоугольник

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.
Инструкция
1
Начертите окружность. Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность, поворачивая циркуль вправо и влево.
2
Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.
3
Возьмите линейку и соедините все полученные точки. Решение первое найдено. Используйте данный способ, если вам необходимо вписать в окружность правильный многоугольник.
4
Нарисуйте окружность. Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к диаметру через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).
5
Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.
6
Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.
7
Далее описывается решение по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра в окружности. Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.
8
Проведите две дуги до пересечения с окружностью, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.
9
Проведите отрезок еще один от края круга до другого края через центр окружности так, чтобы получился еще один диаметр. В результате на рисунке будут изображены два взаимно перпендикулярных диаметра. При соединении их концов получается вписанный в окружность квадрат.
10
Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность. Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.
11
Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность.
12
Рассмотрите задачу по вписыванию равностороннего треугольника в окружность. Нарисуйте окружность. Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя раствор циркуля, проведите дугу до пересечения с окружностью. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.
Видео по теме

Совет 6: Как вписать двенадцатиугольник в окружность

Являющиеся одной из неотъемлемых частей школьной программы, геометрические задачи на построение правильных многоугольников достаточно тривиальны. Как правило, построение ведется путем вписывания многоугольника в окружность, которая вычерчивается первой. Но что делать, если окружность задана, а фигура весьма сложна?
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - циркуль;
  • - карандаш;
  • - лист бумаги.
Инструкция
1
К имеющейся окружности постройте хорду. Вычертите произвольный отрезок прямой так, чтобы он имел две точки пересечения с окружностью. Определите эти точки как A и B.
2
Постройте отрезок прямой, перпендикулярной AB и разделяющий его в точке пересечения на две равные части. Поставьте иглу циркуля в точку A. Поставьте ножку с грифелем в точку B, либо в любую точку отрезка, которая находится ближе к B чем к A. Начертите окружность. Не меняя раствор ножек циркуля установите его иглу в точку B. Начертите еще одну окружность.Вычерченные окружности пересекутся в двух точках. Проведите через них отрезок прямой. Обозначьте точку пересечения данного отрезка с отрезком AB как C. Обозначьте точки пересечения этого отрезка с первоначальной окружностью как D и E.
3
Постройте перпендикуляр к отрезку DE, делящий его пополам. Произведите действия, аналогичные тем, что были описаны в предыдущем шаге, по отношению к отрезку DE. Пусть вычерченный отрезок пересекает DE в точке O. Данная точка будет являться центром окружности. Также обозначьте точки пересечения построенного перпендикуляра с первоначальной окружностью как F и G.
4
Установите раствор ножек циркуля таким образом, чтобы расстояние между их концами было равно радиусу первоначальной окружности. Для этого поместите иглу циркуля в одну из точек A, B, D, E, F или G. Конец ножки с грифелем поместите в точку O.
5
Постройте правильный шестиугольник. Установите иглу циркуля в любую точку линии окружности. Обозначьте эту точку H. В направлении движения по часовой стрелке сделайте циркулем дугообразную засечку так, чтобы она пересекала линию окружности. Обозначьте эту точку I. Переместите иглу циркуля в точку I. Снова сделайте засечку на окружности и обозначьте полученную точку J. Аналогичным образом постройте точки K, L, M. Последовательно попарно соедините точки H, I, J, K, L, M, H. Полученная фигура является правильным шестиугольником, вписанным в заданную окружность.
6
Найдите недостающие точки вершин углов двенадцатиугольника. К отрезкам HI, IJ, JK постройте делящие их пополам перпендикуляры так, чтобы построенные отрезки пересекали окружность O в двух точках. Обозначьте полученные точки буквами N, O, P, Q, R, S, начиная с той, что находится за точкой H на окружности по направлению движения часовой стрелки.
7
Постройте правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность. Попарно соедините точки H, N, I, O, J, P, K, Q, L, R, M, S, H отрезками. Многоугольник HNIOJPKQLRMS является искомым двенадцатиугольником.
Видео по теме

Совет 7: Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он называется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Построить треугольник на известной окружности очень просто, но как вписать треугольник в круг, если изначально существует именно он?
Вам понадобится
  • - циркуль;
  • - бумага;
  • - карандаш;
  • - линейка.
Инструкция
1
Для любого треугольника всегда возможно построить описанную окружность, поскольку эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.

Чтобы это обнаружить, достаточно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, должны быть решениями системы из трех уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Эта система будет иметь единственное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она вовсе не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следовательно, этот случай можно даже не рассматривать. Итак, решение заведомо существует.
2
Чтобы треугольник был вписан в окружность, очевидно, требуется, чтобы ее центр находился на равном расстоянии от всех трех его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.
3
Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для любой такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно пополам.

Следовательно, любой срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Достаточно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до любой из вершин.
4
Процедура деления отрезка пополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой двух сторон треугольника.
5
Если заданный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Видео по теме
Источники:
  • круг вписанный в треугольник
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500