Совет 1: Как найти основание треугольника

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.
Вам понадобится
  • Калькулятор
Инструкция
1
Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S - площадь треугольника,

с - длина его основания,

h - длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты - 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).
2
Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=Р-2*а, где:
Р - периметр треугольника,

а - длина боковой стороны треугольника,

с - длина его основания.
3
Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:
C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

а - длина боковой стороны треугольника.

с - длина его основания.
(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)
4
Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A - величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а - длина боковой стороны треугольника.

с - длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.
5
Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

R - радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с - длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.
Обратите внимание
Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.
Полезный совет
Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.
Источники:
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Совет 2: Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонним называют треугольник, имеющий три равные стороны и три одинаковых угла. Такой треугольник еще называют правильным. Высота, проведенная из вершины к основанию, одновременно является биссектрисой и медианой, из чего следует, что эта линия делит угол вершины на два равных угла, а основание, на которую опускается, на два равных отрезка. Эти свойства треугольника помогут вычислить его площадь, равную половине произведения высоты на любую из его сторон.
Вам понадобится
  • - знать, что такое высота и ее свойства
  • - знать, что такое прямоугольный треугольник
  • - знать, что такое гипотенуза и катеты
  • - уметь решать уравнения с одной переменной со скобками
Инструкция
1
Если в правильном треугольнике известны хотя бы одна сторона и его высота, то для определения площади фигуры умножьте высоту на длину стороны и разделите получившееся число на два.
2
Для вычисления площади треугольника при неизвестной высоте и известной стороне сначала найдите высоту. Для этого рассмотрите один из равных прямоугольных треугольников, образованных высотой.
3
Сторона, противолежащая прямому углу, будет являться гипотенузой, а две остальные - катетами. Значит, высота равностороннего треугольника будет одним из катетов меньшего прямоугольного треугольника. Второй катет будет равняться половине стороны большого треугольника, так как высота в правильном прямоугольнике делит ее пополам, являясь медианой.
4
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поэтому для того, чтобы узнать высоту, из квадрата гипотенузы (то есть из квадрата одной из сторон равностороннего треугольника) вычтите квадрат катета, образованного половиной стороны равностороннего треугольника, после чего обязательно из результата этого вычисления извлеките квадратный корень.
5
Теперь, когда высота известна, найдите площадь фигуры, умножив высоту на длину стороны и разделив получившееся значение на два.
6
В случае, если вам известна только высота, то снова рассмотрите один из прямоугольных треугольников, образующихся при проведении высоты, которая делит пополам угол и сторону правильного многоугольника. Опираясь на теорему Пифагора, составьте уравнение a² = c²-(1/2*с)², где a² - высота, c² - сторона равностороннего треугольника. В этом уравнении найдите значение переменной a.
7
Узнав высоту, вычислите площадь правильного треугольника. Для этого умножьте высоту на сторону треугольника и разделите полученный после умножения результат пополам.
Видео по теме
Источники:
  • Геометрический портал
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500