Совет 1: Как найти нормаль плоскости

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Дальнейшие выкладки по определении нормали зависят от способа задания плоскости.
Как найти нормаль плоскости
Инструкция
1
Если задано общее уравнение плоскости - AX+BY+CZ+D=0 или его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то можно сразу записать ответ - n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.
2
Для получения общего ответа, вам понадобится векторное произведение векторов из-за того, что последнее всегда перпендикулярно исходным векторам. Итак, векторным произведением векторов, является некоторый вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом этот вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это главное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки.
[a,b] - одно из общепринятых обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.1)
Как найти нормаль плоскости
3
Для того чтобы не путаться со знаком «-», перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Более того, дабы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.
4
Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость можно задать различными способами. Пусть нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно.
Пусть даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),
nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом,
nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль найдена - n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Совет 2 : Как найти уравнение плоскости по трем точкам

Составление уравнения плоскости по трем точкам основывается на принципах векторной и линейной алгебры, использующих понятие коллинеарности векторов и также векторные приемы построения геометрических линий.
Как найти уравнение плоскости по трем точкам
Вам понадобится
  • учебник по геометрии, лист бумаги, карандаш
Инструкция
1
Откройте учебник по геометрии на главе «Векторы» и повторите основные принципы векторной алгебры. Для построения плоскости по трем точкам потребуется знание таких тем, как линейное пространство, ортонормированный базис, коллинеарность векторов, а также понимание принципов линейной алгебры.
2
Вспомните, что через три заданные точки, если они не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость. Это означает, что наличие трех конкретных точек в линейном пространстве уже однозначно определяет единственную плоскость.
3
Задайте в трехмерном пространстве три точки, имеющие различные координаты: x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3. Будет использоваться общее уравнение плоскости, подразумевающее известность какой-либо одной точки, например, точки с координатами x1,y1,z1, а также знание координат нормального к данной плоскости вектора. Таким образом, общий принцип построения плоскости будет заключаться в том, что скалярное произведение любого вектора, лежащего в плоскости, и нормального вектора должно быть равно нулю. Отсюда и получается общее уравнение плоскости a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0, где коэффициенты a, b и c – это компоненты вектора, перпендикулярного плоскости.
4
В качестве вектора, лежащего в самой плоскости, можете взять любой вектор, построенный на любых двух точках из тех трех, что известны изначально. Координаты данного вектора будут иметь вид (x2-x1), (y2-y1), (z2-z1). Соответствующий вектор можно назвать m2m1.
5
Определите нормальный вектор n посредством векторного произведения двух векторов, лежащих в данной плоскости. Как известно, векторное произведение двух векторов – это всегда вектор, перпендикулярный обоим векторам, по которым он строится. Таким образом, можно получить новый вектор, перпендикулярный всей плоскости. В качестве двух векторов, лежащих в плоскости, можно взять любой из векторов m3m1, m2m1, m3m2, построенных по тому же принципу, что и вектор m2m1.
6
Найдите векторное произведение векторов, лежащих в одной плоскости, определив таким образом нормальный вектор n. Помните, что векторное произведение – это, фактически, определитель второго порядка, первая строка которого содержит орты i, j, k, вторая строка – компоненты первого вектора векторного произведения, а третья – компоненты второго вектора. Раскрыв определитель, вы получите компоненты вектора n, то есть a, b и с, которые и задают плоскость.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500