Совет 1: Как определить степень многочлена

Многочлен (или полином) от одной переменной - это выражение вида c0 * x^0 + c1 * x^1 + c2 * x^2 + ... + cn * x^n, где c0, c1, ... , cn - коэффициенты, x - переменная, 0, 1, ... , n - степени, в которые возводится переменная x. Степень многочлена - это максимальная степень переменной x, встречающаяся в многочлене. Как ее определить?
Инструкция
1
Внимательно посмотрите на заданный многочлен. Если он представлен в стандартном виде, просто найдите максимальную степень у переменной.

К примеру, степень многочлена (5 * x^7 + 3 * x + 6) равна 7, т.к. максимальное число, в которое возводится x, - 7.
2
Частный случай многочлена - одночлен - выглядит как (c * x^n), где c - коэффициент, x - переменная, n - некоторая степень переменной x. Степень одночлена определена однозначно: та степень, в которую возводится переменная x, и является степенью одночлена.

Например, степень одночлена (6 * x^2) равна 2, т.к. x в этом одночлене возводится именно в квадрат.
3
Обычное число также может рассматриваться в качестве частного случая одночлена и даже многочлена. Тогда степень такого одночлена (многочлена) равна 0, ибо только возведение в нулевую степень дает единицу.

К примеру, 9 = 9 * 1 = 9 * x^0. Степень одночлена (9) - 0.
4
Многочлен задан неявно

Многочлен может быть задан не в каноническом виде, а представлен, к примеру, некоторым выражением в скобке, возводимой в какую-то степень. Тут есть два способа определить степень многочлена:

1. Раскрыть скобку, привести многочлен к стандартному виду, найти наибольшую степень при переменной.

Пример.

Пусть задан многочлен (x - 1)^2

(x - 1)^2 = x^2 - 2 * x + 1. Как видно из разложения, степень этого многочлена равна 2.

2. Рассмотреть отдельно степень каждого слагаемого в скобке с учетом той степени, в которую возводится сама скобка.

Пример.

Пусть задан многочлен (50 * x^9 - 13 * x^5 + 6 * x)^121

Пытаться раскрывать такую скобку, очевидно, не имеет смысла. Но вот предугадать максимальную степень многочлена, который при этом получится, можно: достаточно лишь взять максимальную степень переменной из скобки и домножить ее на степень скобки.

В данном конкретном примере надо домножить 9 на 121:

9 * 121 = 1089 - это и есть степень рассматриваемого изначально многочлена.

Совет 2: Как привести многочлены к стандартному виду

Даже самое сложное уравнение перестает выглядеть пугающим, если привести его к виду, с которым вы уже сталкивались. Наиболее простым способом, который выручает в любой ситуации, является приведение многочленов к стандартному виду. Это исходная точка, из которой вы можете двигаться дальше к решению.
Вам понадобится
  • лист бумаги
  • цветные ручки
Инструкция
1
Запомните стандартную форму многочлена, чтобы знать, что вы должны получить в результате. Значимость имеет даже порядок записи: первыми должны стоять члены с большей степенью. Кроме того, принято сперва записывать неизвестные, обозначенные буквами, стоящими в начале алфавита.
2
Запишите исходный многочлен и приступайте к поиску подобных слагаемых. Это члены данного вам уравнения, имеющие одинаковую буквенную часть или (и) цифровую. Для большей наглядности подчеркивайте найденные пары. Обратите внимание, что подобие не означает идентичность, - главное, чтобы один член пары содержал в себе второй. Так, подобными будут члены ху, хy2z и хуz, - они имеют общую часть в виде произведения х и у. Это же относится и к степенным выражениям.
3
Обозначайте разные подобные члены по-разному. Для этого лучше подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.
4
Найдя все подобные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в найденных парах вынесите подобные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет подобных членов.
5
Проверьте, не осталось ли у вас одинаковых элементов в записи. В ряде случаев у вас могут вновь появиться подобные члены. Повторите операцию с их комбинированием.
6
Проследите за выполнением второго условия, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: каждый его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная или переменны, следующие в уже обозначенном порядке. При этом приоритет имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не отвечают требованиям.
Видео по теме

Совет 3: Как найти степень многочлена

Многочлен - это сумма одночленов. Одночлен же - это произведение нескольких сомножителей, которые являются числом или буквой. Степень неизвестной - это количество ее перемножений на саму себя.
Инструкция
1
Приведите подобные одночлены, если этого еще не сделано. Подобные одночлены - это одночлены одинакового вида, то есть одночлены с одинаковыми неизвестными одинаковой степени.
2
Примите одну из неизвестных букв за главную. Если она не указана в условии задачи, за главную можно принять любую неизвестную букву.
3
Найдите наивысшую степень для главной буквы. Это максимальная имеющаяся в многочлене степень для этой неизвестной. Именно она и называется степенью многочлена по этой букве.
4
Укажите, если это необходимо, степень многочлена по другим буквам. Таким образом, для многочлена с неизвестными x и y существует степень многочлена по x и степень многочлена по y.
5
Возьмите, например, многочлен 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². В этом многочлене две неизвестных - x и y.
6
Найдите подобные одночлены. Здесь есть подобные одночлены члены с y во второй степени и x в третьей. Это 2*y²*x³ и -y²*x³. Еще в данном многочлене есть подобные одночлены с y в четвертой степени. Это 6*y²*y² и -6*y²*y².
7
Соедините подобные одночлены. Одночлены со второй степенью y и третьей степенью x придут к виду y²*x³, а одночлены с четвертой степенью y сократятся. Получится y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
8
Примите за главную неизвестную букву x. Найдите максимальную степень при неизвестной x. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 3.
9
Примите за главную неизвестную букву y. Найдите максимальную степень при неизвестной y. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 2.
10
Сделайте вывод. Степень многочлена 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² по x равна трем, а по y равна двум.
11
Учтите, что степень не обязательно является целым числом. Возьмите многочлен √x+5*y. Подобных одночленов у него нет.
12
Найдите степень многочлена √x+5*y по y. Она равна максимальной степени y, то есть единице.
13
Найдите степень многочлена √x+5*y по x. Неизвестная x находится под корнем, значит ее степень будет дробью. Так как корень квадратный, то степень x равна 1/2.
14
Сделайте вывод. Для многочлена √x+5*y степень по x равна 1/2, а степень по y равна 1.
Видео по теме

Совет 4: Что такое многочлен

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.
Инструкция
1
Многочлен или полином (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.
2
Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.
3
Основные определения многочлена:
• Каждое слагаемое полинома называется одночленом или мономом.
• Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
• Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
• Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным).
• Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
• Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.
4
Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также описал функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это формула для разложения полинома двух переменных на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).
5
Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.
Обратите внимание
Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.

Совет 5: Как решать степени

Уравнения высшей степени - это уравнения, в которых старшая степень переменной больше 3. Существует общая схема для решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Инструкция
1
Очевидно, что если коэффициент при старшей степени переменной не равен 1, то можно разделить все члены уравнения на этот коэффициент и получить приведенное уравнение, поэтому сразу рассматривают приведенное уравнение. Общий вид уравнения высшей степени представлен на рисунке.
Как решать <strong>степени</strong>
2
Первым делом находят целые корни уравнения. Целые корни уравнения высшей степени являются делителями a0 - свободного члена. Для их нахождения раскладывают a0 на множители (необязательно простые) и поочередно проверяют, какие из них являются корнями уравнения.
3
Когда находят среди делителей свободного члена такое x1, которое обращает многочлен в ноль, то можно представить исходный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена степени n-1. Для этого исходный многочлен делят на x - x1 в столбик. Теперь общий вид уравнения изменился.
Как решать <strong>степени</strong>
4
Далее продолжают подставлять делители a0, но уже в получившееся уравнение меньшей степени. Причем начинают с x1, так как у уравнения высшей степени могут быть кратные корни. Если находятся еще корни, то снова делят многочлен на соответствующие одночлены. Таким образом раскладывают многочлен так, чтобы получить в итоге произведение одночленов и многочлен степени 2, 3 или 4.
Как решать <strong>степени</strong>
5
Находят корни многочлена младшей степени, пользуясь известными алгоритмами. Это нахождение дискриминанта для квадратного уравнения, формула Кардано для кубического уравнения и всевозможные замены,
преобразования и формула Феррари для уравнений четвертой степени.
Видео по теме
Обратите внимание
Не всегда можно решить уравнение высшей степени таким способом.
Полезный совет
Удобно пользоваться схемой Горнера для записи коэффициентов многочленов меньшей степени.

Если коэффициенты дробные, то с помощью умножения многочлена на общий знаменатель коэффициентов и замену переменной уравнение приводится к приведенному виду.
Источники:
  • Решение уравнений высших степеней

Совет 6: Как решать уравнения высших степеней

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Инструкция
1
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).
2
Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
3
Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделите многочлен уравнения на (x - 1). Деление многочленов выполняется столбиком и отличается от обычного деления чисел только наличием переменной.
4
Перепишите уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжите подбор корней уже для кубического многочлена:1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0;-1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0.
5
Второй корень x = -1. Поделите кубический многочлен на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
6
Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
7
Запишите ответ:x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.
8
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0
9
Это уравнение называется биквадратным. Чтобы привести его к квадратному, сделайте замену y = x². Тогда:y² – 13·y + 36 = 0D = 169 – 4·36 = 25y1 = (13 + 5)/2 = 9; y2 = (13 - 5)/2 = 4.
10
Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше