Совет 1: Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому виду то, как правило, имеются в виду кривые второго порядка. Плоской кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением вида: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, здесь A, B, C, D, E, F - некоторые постоянные (коэффициенты), причем A, B, C одновременно не равны нулю.
Как привести уравнение кривой к каноническому виду
Инструкция
1
Сразу следует оговориться, что приведение к каноническому виду в самом общем случае сопряжено с поворотом системы координат, что потребует привлечения достаточно большого количества дополнительных сведений. Поворот системы координат может потребоваться, если коэффициент В отличен от нуля.
2
Существуют три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.
Каноническое уравнение эллипса: (x^2)/(a^2)+ (y^2)/(b^2)=1.
Каноническое уравнение гиперболы: (x^2)/(a^2)- (y^2)/(b^2)=1. Здесь а и b полуоси эллипса и гиперболы.
Каноническое уравнение параболы 2px=y^2 (p - просто ее параметр).
Процедура приведения к каноническому виду (при коэффициенте В=0) предельно проста. Проводятся тождественные преобразования с целью выделения полных квадратов, если требуется - деление обеих частей уравнения на число. Таким образом, решение сводится к приведению уравнения к каноническому виду и выяснению типа кривой.
3
Пример 1. 9x^2+25y^2=225.
Преобразуйте выражение к виду: (9x^2)/225)+(25y^2)/225)=1,
(9x^2)/(9*25)+(25y^2)/(9*25)=1, (x^2)/25+(y^2)/9=1, (x^2)/(5^2)+ (y^2)/(3^2)=1. Это эллипс с полуосями
a=5, b=3.
Пример 2. 16x^2-9y^2-64x-54y-161=0
Дополнив уравнение до полного квадрата по х и по у и преобразовав его к каноническому виду, получите:
(4^2)(x^2)-2*8*4x+8^2-(3^2)(y^2)-2*3*9y-(9^2)-161-64+81=0,
(4x-8)^2- (3y+9)^2-144=0, (4^2)(x-2)^2-(3^2)(y+3)^2=(4^2)(3^2).
(x-2)^2/(3^2)-(y+3)^2/(4^2) =1.
Это уравнение гиперболы с центром в точке C(2,-3) и полуосями а=3, b=4.
Источники:
  • привести кривую второго порядка к каноническому виду

Совет 2 : Как определить тип кривой второго порядка

Ответ весьма прост. Преобразуйте общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Искомых кривых всего три, и это эллипс, гипербола и парабола. Вид соответствующих уравнений можно увидеть в дополнительных источниках. Там же можно убедиться, что полную процедуру приведения к каноническому виду следует всячески избегать в силу ее громоздкости.
Как определить тип кривой второго порядка
Инструкция
1
Вопрос о выяснении вида кривой второго порядка - скорее качественная, чем количественная задача. В самой общей случае решение может начинаться с заданного уравнения линии второго порядка (см. рис. 1). В этом уравнении все коэффициенты - некоторые постоянные числа. Если забыли уравнения эллипса, гиперболы и параболы в каноническом виде, посмотрите их в дополнительных источниках к этой статье или любом учебнике.
Как определить тип кривой второго порядка
2
Сравните общее уравнение с каждым из тех канонических. Нетрудно придти к выводу, что если коэффициенты A≠0, С≠0, и их знак одинаков, то после любого преобразования, приводящего к каноническому виду, будет получен эллипс. Если знак различен – гипербола. Парабола же будет соответствовать ситуации, когда коэффициенты или А или С (но не оба сразу) равны нулю. Таким образом, ответ получен. Только вот числовых характеристик нет, кроме тех коэффициентов, что имеются в конкретном условии задачи.
3
Есть еще один способ получения ответа на поставленный вопрос. Это применение общего полярного уравнения кривых второго порядка. Это означает, что в полярных координатах все три, укладывающиеся в канон кривые (для декартовых координат) записываются практически одним и тем же уравнением. И хотя это в канон и не укладывается – здесь возможно список кривых второго порядка расширять неограниченно (апликата Бернулли, фигура Лиссажу и т. д.).
4
Ограничимся эллипсом (в основном) и гиперболой. Парабола возникнет автоматически, как случай промежуточный. Дело в том, что изначально эллипс определялся как геометрическое место точек, для которых сумма фокальных радиусов r1+r2=2a =const. Для гиперболы |r1-r2|=2a=const. Положите фокусы эллипса (гиперболы) F1(-c, 0), F2(c, 0). Тогда фокальные радиусы эллипса равны (см. рис. 2а). Для правой ветви гиперболы смотрите рисунок 2b.
Как определить тип кривой второго порядка
5
Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как полярный центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.
Как определить тип кривой второго порядка
6
Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – парабола. Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической физики» классификация дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.
Источники:
  • Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
  • Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500