Совет 1: Как найти дисперсию случайной величины

Дисперсия характеризует в среднем степень разброса значений СВ относительно ее среднего значения, то есть показывает насколько плотно сгруппированы значения Х вокруг mх. Если СВ обладает размерностью (может быть выражена в каких-либо единицах), то размерность дисперсии равна квадрату размерности СВ.
Как найти дисперсию случайной величины
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Для рассмотрения данного вопроса необходимо ввести некоторые обозначения. Возведение в степень будет обозначено через символ «^», корень квадратный – «sqrt», а обозначения, которые касаются интегралов, приведены на рис.1.
2
Пусть известно среднее значение (математическое ожидание) mx случайной величины (СВ) Х. следует напомнить, что операторное обозначение математического ожидания mх=М{X} =M[X], при этом для него справедливо свойство M{aX} = aM{X}. Математическое ожидание константы есть сама эта константа (М{a}=a). Кроме того, необходимо ввести понятие центрированной СВ. Хц =Х-mx. Очевидно, M{XЦ}=M{X} –mx=0
3
Дисперсией СВ (Dх) называют математическое ожидание квадрата центрированной СВ. Dх=int((x-mx)^2)W(x)dx). При этом W(x) - плотность вероятности СВ. Для дискретных СВ Dх=(1/n)((x- mx)^2 +(x2- mx)^2+…+(xn- mx)^2). Для дисперсии, как и для математического ожидания, предусмотрена операторная запись Dх=D[X] (или D{X}).
4
Из определения дисперсии вытекает, что аналогичным образом ее можно найти по следующей формуле: Dx=M{(X- mx)^2}=D{X}=М{Xц^2}.На практике в качестве примера характеристики рассеивания чаще пользуются средним квадратом отклонения СВ (СКО - среднеквадратическое отклонение). бх=sqrt(Dx), при этом размерность Х и СКО совпадают [X]=[бх].
5
Свойства дисперсии.1. D[a]=0. Действительно, D[a]=M[(a-a)^2]=0 (физический смысл - у постоянной величины нет разброса).2. D[aX]=(a^2)D[X], так как М{(aX-M[aX])^2}=M{(aX - (amx))^2}=(a^2)M{(X - mx)^2}=(a^2)D{X}.3. Dx= M{X^2}-(mx^2), т.к. M{(X - mх)^2}=M{X^2 - 2Xmx + mx^2}=M{X2} - 2M{X}mx + mx2==M{X^2} - 2mx^2+mx^2=M{X^2} – mx^2.4. Если СВ X и Y независимы, то M{XY}=M{X}M{Y}.5. D{X+Y}=D{X-Y}=D{X}+D{Y}. Действительно, учитывая что Х и Y независимы, независимыми являются и Хц и Yц. Тогда, например, D{X-Y}=M{((X-Y)-M[X-Y])^2}=M{((X-mx)+(Y-my))^2}=M{Xц^2}+M{Yц^2}-М{Xц^2}M{Yц^2}=DxDy.
6
Пример. Дана плотность вероятности случайного напряжения Х (см рис.2). Найти ее дисперсию и СКО.Решение. По условию нормировки плотности вероятности, площадь под графиком W(x) равна 1. Так как это треугольник, то (1/2)4W(4)=1. Тогда W(4)=0,5 1/B. Отсюда W(x)=(1/8)x. mx=int(0 – 4)(x(x/8)dx==(x^3)/24|(0 – 4)=8/3. При вычислении дисперсии удобнее всего использовать ее 3-е свойство: Dx= M{X^2}-(mx^2)=int(0 – 4)((x^2)(x|8)dx - 64|9=(x^4)/32)|(0 – 4)-64/9= 8-64/9=8/9.

Совет 2 : Как рассчитать математическое ожидание

Математическое ожидание в теории вероятностей – среднее значение случайной величины, которое является распределением ее вероятностей. Фактически расчет математического ожидания величины или события – это прогноз его наступления в некотором вероятностном пространстве.
Как рассчитать математическое ожидание
Инструкция
1
Математическое ожидание случайной величины – одна из важнейших ее характеристик в теории вероятности. Это понятие связано с распределением вероятностей величины и является ее средним ожидаемым значением, вычисляемым по формуле:M = ∫xdF(x), где F(x) – функция распределения случайной величины, т.е. функция, значение которой в точке х является ее вероятностью; х принадлежит множеству X значений случайной величины.
2
Приведенная формула носит название интеграла Лебега-Стилтьеса и основывается на методе разбиения области значений интегрируемой функции на интервалы. Затем подсчитывается интегральная сумма.
3
Математическое ожидание дискретной величины прямо следует из интеграла Лебега-Стильтьеса:М = Σx_i*p_i на интервале i от 1 до ∞, где x_i – значения дискретной величины, p_i – элементы множества ее вероятностей в этих точках. При этом Σp_i = 1 при I от 1 до ∞.
4
Математическое ожидание целочисленной величины может быть выведено через производящую функцию последовательности. Очевидно, что целочисленная величина является частным случаем дискретной и имеет следующее распределение вероятностей:Σp_i = 1 при I от 0 до ∞ где p_i = P (x_i) – распределение вероятностей.
5
Для того, чтобы рассчитать математическое ожидание, необходимо продифференцировать P при значении х, равном 1:P’(1) = Σk*p_k для k от 1 до ∞.
6
Производящая функция – это степенной ряд, сходимость которого определяет математическое ожидание. При расхождении этого ряда математическое ожидание равно бесконечности ∞.
7
Для упрощения расчета математического ожидания приняты некоторые его простейшие свойства:- математическое ожидание числа есть само это число (константа);- линейность: M(a*x + b*y) = a*M(x) + b*M(y);- если x ≤ y и M(y) – конечная величина, то математическое ожидание х также будет конечной величиной, причем M(x) ≤ M(y);- для x = y M(x) = M(y);- математическое ожидание произведения двух величин равно произведению их математических ожиданий: M(x*y) = M(x)*M(y).
Обратите внимание
Расчет математического ожидания широко применяется в азартных играх, в частности в покере. Оно равно средней выгоде того или иного решения игрока, а успех заключается в выборе шагов только с положительным его значением.
Источники:
  • расчет математического ожидания

Совет 3 : Как вычислить математическое ожидание

Математическое ожидание – термин теории вероятностей, предназначенный для оценки среднего значения статистической выборки и определения погрешности измерений. Это понятие также называют центром распределения случайной величины.
Как вычислить математическое ожидание
Инструкция
1
Вычисление математического ожидания случайной величины является одним из основных этапов оценки степени ее отклонения от истинного значения. Во время построения вероятностной модели измеряемого параметра эта числовая характеристика показывает, насколько далеко от истины ее среднее ожидаемое значение.
2
Чтобы вычислить математическое ожидание, необходимо рассмотреть выборку значений функции распределения случайной величины. Элементы этой функции представляют собой вероятности, с которыми величина окажется равной тому или иному значению из множества X.
3
Очевидно, что выборка значений (результатов серии измерений) анализируемого параметра является числовым рядом. Следовательно, чтобы найти его среднее значение, необходимо определить интегральную сумму этого ряда. Это приводит к операции интегрирования и использованию формулы Лебега-Стильтьеса:M = ∫xdF(x).
4
Разделяют понятия математического ожидания дискретной и целой величины. Первое вытекает из интеграла, приведенного выше, и представляет собой суммирование попарных произведений соответствующих друг другу элементов двух множеств: выборки значений изучаемого параметра и массива вероятностей, с которыми эти значения может принять случайная величина. Тогда формула выглядит следующим образом:М = Σxi•pi, где i – индекс суммы, принадлежащий интервалу от 1 до бесконечности.
5
Математическое ожидание целой величины равно первой производной функции последовательности. При этом очевидно, что целая величина имеет распределение вероятностей, равное Σpi = 1, поэтому в продифференцированную функцию подставляется значение, равное x=1. Тогда формула принимает вид:M = P’(1) = Σk•p_k.
6
Необходимо помнить, что производящая функция последовательности сама по себе является числовым рядом, поэтому от его сходимости зависит, существует ли конечное значение математического ожидания. Если же ряд расходится, то эта характеристика случайной величины равна бесконечности, т.е. не определена.
Источники:
  • вычисление математического ожидания

Совет 4 : Как найти математическое ожидание, если известна дисперсия

В теории вероятности одним из основных является понятие математического ожидания. Найти его по формуле бывает не так уж и просто, поэтому использовать классическое определение не рекомендуется. Рациональнее находить математическое ожидание через дисперсию.
Как найти математическое ожидание, если известна дисперсия
Вам понадобится
  • - руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике В.Е.Гмурмана.
Инструкция
1
Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками, одной из которых является математическое ожидание, определить которое не всегда просто. Для этого используют дисперсию (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания). Но для начала нужно себе точно представлять, что означает математическое ожидание: по определению это среднее значение случайной величины, которое можно посчитать как сумму значений этих величин, умноженных на их вероятность.
2
Вам необходимо в условии задачи найти, какое именно числовое значение дисперсии дано по условию, а затем извлечь из него корень. Полученный результат и будет математическим ожиданием. Но так как данная величина является средним значением, то вы получите приближенное значение. Поэтому данный итог не совсем верен.
3
Если по условию задачи дано среднеквадратическое отклонение (сигма), то целесообразнее найти дисперсию (извлечь корень из числового значения). А затем по классическому определению теории вероятности найти, чему равно математическое ожидание.
Обратите внимание
Запомните некоторые свойства, которые облегчат поиск математического ожидания:

Математическое ожидание константы равно самой константе.
Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Полезный совет
На самом деле гораздо проще вначале определить математическое ожидание, а затем считать дисперсию. Таким образом расчеты сократятся в несколько раз.
Источники:
  • Теория вероятности
  • найти математическое ожидание и дисперсию
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500