Инструкция
1
Найдите все критические точки функции ƒ(x), попадающие в исследуемый интервал (a; b). Для этого найдите производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Выберите те точки из промежутка (a; b), в которых эта производная не существует или равна нулю, то есть найдите область определения функции ƒ'(x) и решите уравнение ƒ'(x)=0 в интервале (a; b). Пусть это будут точки x1, x2, x3, …, xn.
2
Вычислите значение функции ƒ(x) во всех ее критических точках, принадлежащих интервалу (a; b). Выберите из всех этих значений ƒ(x1), ƒ(x2), ƒ(x3), …, ƒ(xn) самое наименьшее. Пусть это наименьшее значение достигается в точке xk, то есть ƒ(xk)≤ƒ(x1), ƒ(xk)≤ƒ(x2), ƒ(xk)≤ƒ(x3), …, ƒ(xk)≤ƒ(xn).
3
Подсчитайте значение функции ƒ(x) на концах отрезка [a; b], то есть вычислите ƒ(a) и ƒ(b). Сравните эти значения ƒ(a) и ƒ(b) с наименьшим значением в критических точках ƒ(xk) и выберите из этих трех чисел самое наименьшее. Оно и будет являться наименьшим значением функции на отрезке [a; b].
4
Обратите внимание, если функция не имеет на промежутке (a; b) критических точек, то значит в рассматриваемом интервале функция возрастает или убывает, а минимальное и максимальное значения достигает на концах отрезка [a; b].
5
Рассмотрите пример. Пусть задача состоит в нахождении минимального значения функции ƒ(x)=2×x³−6×x²+1 на отрезке [-1; 1]. Найдите производную функции ƒ'(x)=(2×x³−6×x²+1)’=(2×x³)’−(6×x²)’=6×x²−12×x=6×x×(x−2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой. Решите уравнение ƒ'(x)=0.
В этом случае такое уравнение равносильно системе уравнений 6×x=0 и x−2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2∉(-1; 1), поэтому критическая точка в этом промежутке одна: x=0. Найдите значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³−6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³−6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³−6×1²+1=-3. Так как -7<1 и -7<-3, то функция ƒ(x) принимает минимальное значение в точке x=-1 и оно равно ƒ(-1)=-7.