Совет 1: Как решить задачу с частями

Одними из интереснейших задач в математике являются задачи «на части». Они бывают трех видов: определение одной величины через другую, определение двух величин через сумму этих величин, определение двух величин через разность данных величин. Для того чтобы процесс решения стал максимально легким, необходимо, конечно, знать материал. На примерах рассмотрим, как решать задачи такого типа.
Как решить задачу с частями
Инструкция
1
Условие 1. Роман поймал на речке 2,4 кг окуней. 4 части он отдал сестре Лене, 3 части – брату Сереже, а одну часть оставил себе. Сколько кг окуней получил каждый из детей?
Решение: Обозначьте массу одной части через Х (кг), тогда масса трех частей – 3Х (кг), а масса четырех частей – 4Х (кг). Известно, что всего было 2,4 кг, составим и решим уравнение:

Х + 3Х + 4Х =2,4

8Х = 2,4

Х = 0,3 (кг) – окуней получил Роман.

1) 3*0,3 = 0,9 (кг) – рыбы дали Сереже.

2) 4*0,3 = 1,2 (кг) – окуней получила сестра Лена.

Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг.
2
Следующий вариант тоже разберем на примере:

Условие 2. Для приготовления грушевого компота нужна вода, груши и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4,3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять каждого компонента ( по массе), чтобы приготовить 13,5 кг компота?
Решение: Пусть для приготовления компота требуется a (кг) воды, b (кг) груш, c (кг) сахара.

Тогда a/4=b/3=с/2. Примем каждое из отношений за Х. Тогда a/4=Х, b/3=Х, с/2 = Х. Отсюда следует, что a = 4Х, b = 3X, c = 2X.
По условию задачи, a + b + c =13,5 (кг). Из этого следует, что

4Х + 3Х + 2Х =13,5

9Х = 13,5

Х = 1,5

1) 4*1,5 = 6 (кг) – воды;

2) 3*1,5 = 4,5 (кг) – груш;

3) 2*1,5 = 3 (кг) – сахара.

Ответ: 6, 4,5 и 3 кг.
3
Следующий тип решения задач «на части» - на нахождение дроби от числа и числа от дроби. При решении задач такого типа необходимо запомнить два правила:

1. Для того чтобы найти дробь от определенного числа, нужно это число умножить на данную дробь.

2. Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
На примере разберем такие задачи. Условие 3: Найти значение Х, если 3/5 части этого числа равны 30.

Оформим решение в виде уравнения:

В соответствии с правилом, имеем

3/5Х = 30

Х = 30:3/5

Х = 50.
4
Условие 4: Найти площадь огорода, если известно, что вскопали 0,7 всего огорода, а осталось вскопать 5400 м2?

Решение:

Возьмем весь огород за единицу (1). Тогда,

1). 1 – 0,7 = 0,3 – не вскопанная часть огорода;

2). 5400:0,3 = 18000(м2) – площадь всего огорода.

Ответ: 18000 м2.
Рассмотрим еще один пример.

Условие 5: Путешественник был в пути 3 дня. В первый день он прошел1/ 4 часть пути, во второй – 5/9 оставшегося пути, в последний день он прошел оставшиеся 16 км. Необходимо найти весь путь путешественника.

Решение: Возьмем весь путь за Х (км). Тогда, в первый день он прошел 1/ 4Х(км), во второй – 5/9(Х – 1/ 4Х) = 5/9*3/4Х = 5/12Х. Зная, что в третий день он прошел 16 км, то:

1/4Х + 5/12 + 16=Х

1/4Х+5/12-Х=-16

-1/3Х=-16

Х=-16 :(-1/3)

Х=48

Ответ: Весь путь путешественника равен 48 км.
5
Условие 6: Купили 60 ведер, причем 5-литровых было в 2 раза больше, чем 10-литровых. Сколько частей приходится на ведра 5литров, на ведра 10 литров, на все ведра? Сколько купили 5-литровых и 10-литровых ведер?

Пусть ведра 10-литровые составляют 1 часть, тогда 5-литровые составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все ведра;

2) 60:3 = 20 (ведра.) — приходится на 1 часть;

3) 20·2 = 40 (ведра) — приходится на 2 части (пятилитровые ведра).
6
Условие 7: На выполнение домашнего задания (алгебра, физика и геометрия) Рома потратил 90 минут. На физику он затратил 3/4 того времени, что потратил на алгебру, а на геометрию на 10 мин меньше, чем на физику. Сколько времени Рома потратил на каждый предмет отдельно.

Решение: Пусть х (мин) он потратил на алгебру. Тогда 3/4х (мин) ушло на физику, а на геометрию затрачено (3/4х – 10) минут.

Зная, что на все уроки он потратил 90 минут, составим и решим уравнение:

Х+3/4х+3/4х-10=90

5/2х=100

Х=100:5/2

Х=40 (мин) – ушло на алгебру;

3/4*40=30(мин) - на физику;

30-10=20 (мин) - на геометрию.

Ответ: 40 мин, 30 мин,20 мин.
Полезный совет
При решении задач на части надо научиться принимать подходящую величину за 1 часть. Научиться узнавать, сколько частей приходится на другую величину, на их сумму или разность.
Источники:
  • Задачи

Совет 2 : Как решать задачи на уравнения

При решении задач с уравнениями необходимо выбрать одно или несколько неизвестных значений. Обозначить эти значения через переменные (х, у, z), после чего составить и решить полученные уравнения.
Как решать задачи на уравнения
Инструкция
1
Решать задачи на уравнения сравнительно несложно. Нужно лишь обозначить за х искомый ответ или связанную с ним величину. После чего, «словесная» формулировка задачи записывается в виде последовательности арифметических действий над этой переменной. В результате получается уравнение, или система уравнений, если переменных было несколько. Решение полученного уравнения (системы уравнений) и будет ответом для исходной задачи.

Какую именно из присутствующих в задаче величин выбрать в качестве переменной должен определить ученик. От правильного выбора неизвестной величины во многом зависит правильность, краткость и «прозрачность» решения задачи. Общего алгоритма решения таких задач не существует, поэтому просто рассмотрим наиболее типичные примеры.
2
Решение задач на уравнения с процентами.

Задача.

На первую покупку покупатель израсходовал 20% денег, имевшихся в кошельке, а на вторую - 25% оставшихся в кошельке денег. После этого в кошельке осталось на 110 рублей больше, чем было израсходовано на обе покупки. Сколько денег (рублей) находилось первоначально в кошельке?

1. Пусть первоначально в кошельке было х руб. денег.

2. На первую покупку покупатель израсходовал (0,2 * х) руб. денег.

3. На вторую покупку он израсходовал (0,25 * (х - 0,2 * х)) руб. денег.

4. Значит, после двух покупок было израсходовано (0,4 * х) руб. денег,

а в кошельке оставалось: (0,6 * х) x руб. денег.

Учитывая условие задачи, составим уравнение:

(0,6 * х) – ( 0,4 * х) = 110, откуда х = 550 руб.

5. Ответ: Первоначально в кошельке было 550 рублей.
3
Составление уравнений в задачах на смешивание (сплавы, растворы, смеси и т.п.).

Задача.

Смешали 30% раствор щелочи с 10% раствором такой же щелочи и получилось 300 кг 15% раствора. Сколько килограммов каждого раствора было взято?

1. Предположим, что взяли x кг первого раствора и (300-х) кг второго раствора.

2. В x кг 30% раствора содержится (0,3 * х) кг щелочи, а в (300-х) кг 10% раствора содержится (0,1 * (300 – х)) кг щелочи.

3. Новый раствор массой 300 кг содержит ((0,3 * х) + (0,1 * (300 – х))) кг = (30 + (0,2 * х)) кг щелочи.

4. Так как концентрация полученного раствора равняется 15%, то получается уравнение:

(30+0,2х)/300=0,15

Откуда х=75 кг, и, соответственно, 300-х= 225 кг.

Ответ: 75 кг и 225 кг.
Видео по теме
Источники:
  • решить задачу уравнением
  • Решение задач на составление уравнений

Совет 3 : Как решать задачи

На протяжении тысячелетий человечество постоянно решает задачи. Они бывают разными: алгебраическими, геометрическими, химическими, инженерно-конструкторскими. Но подлинный прогресс общества, несомненно, во все времена определялся качеством и быстротой решения задач изобретательских.
Как решать задачи
Инструкция
1
Изобретение всегда связано с нахождением нового ответа на требования, предъявляемые к техническим системам со стороны природы и человека. По современным представлениям, обязательный признак изобретения - преодоление противоречия. Противоречия эти бывают разными: административными, техническими и физическими.
2
Изобретательская задача никогда не может быть сформулирована «правильно». Обычно она предстает перед изобретателем в виде неясной и размытой изобретательской ситуации, в которой присутствует некая неудовлетворяющая нас особенность. Налицо административное противоречие: нужно что-то сделать, а что именно и каким образом – совершенно неясно.
3
Изобретатель делает первый шаг в решении – переходит к формулировке технического противоречия. Заключается оно в том, что если каким-то образом попытаться улучшить одну часть технической системы, неизбежно ухудшается другая ее часть. Например, если повысить грузоподъемность автомобиля, то недопустимо увеличится его масса. Теперь, после формулирования технического противоречия, можно уверенно выделить «больное» место системы, в котором происходит конфликт.
4
В глубине технического противоречия прячется противоречие физическое. Суть его в том, что одна и та же часть системы (как правило, определенная зона рабочего органа системы) одновременно должна находиться в прямо противоположных физических состояниях. Например, быть горячей и холодной, электропроводной и неэлектропроводной. Выявление физического противоречия позволяет сформулировать идеальный конечный результат, который должен быть получен при решении задачи.
5
Теперь остается лишь «примирить» противоположные требования, разведя их в пространстве, во времени, в структуре, совершив системный переход или иное стандартное преобразование.
6
И здесь в решении изобретательской задачи наступает этап применения самых бронебойных инструментов современного изобретательства: приемов разрешения противоречий, стандартов на решение изобретательских задач, вепольного анализа, указателей разнообразных эффектов и явлений (физических, химических, геометрических, биологических и т.д.). Все инструменты собраны в компактную программу алгоритмического типа – Алгоритм Решения Изобретательских Задач (АРИЗ).
7
Таковы основные этапы решения изобретательской задачи любого уровня сложности, предлагаемые в рамках теории решения изобретательских задач (ТРИЗ), представляющей собой современную технологию творчества.
Видео по теме
Источники:
  • Сайт Официального фонда Г.С. Альтшуллера

Совет 4 : Как решать задачи с помощью уравнений

Задачи всегда можно решить с помощью двух способов - по действиям и уравнениями. Решение задачи по действиям в некоторых случаях проще уравнения, но бывают моменты, когда задачу нельзя решить по действиям. Для этого и используют уравнения.
Как решать задачи с помощью уравнений
Инструкция
1
Сначала в задаче, которую вы хотите решить с помощью уравнения, вы должны определить исходные данные. Например: "Две машины одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов А и В. Скорость одной машины - 60 км/ч, а второй - 50 км/ч. Они встретились через 2 часа после выезда из пункта. Сколько километров составляет расстояние между этими пунктами?" Исходными данными здесь являются скорость каждой машины и время, которое они ехали навстречу друг другу.Нам нужно взять неизвестную величину и определить её за х. Здесь х будет расстояние между пунктами.
2
Теперь мы должны выразить х через остальные величины. Здесь у нас х = (60+50)*2. Мы складываем скорости обеих машин и умножаем на количетсво часов, которые они затратили на время до встречи. Из этого мы находим х и пишем в ответе: "Расстояние между пунктами А и В равно 220 км.
3
Также у вас могут попасться задачи сложнее, в которых х будет выражаться в двух случаях. Например: "Купили 5кг яблок и 4кг груш. Известно, что килограмм груш стоит на 12.5 рублей дороже. Вся покупка стоила 400 рублей. Сколько стоит килограмм груш и килограм яблок?" Здесь мы выражаем килограмм яблок через х, а килограмм груш соответственно через х+10. Получаем уравнение: 5х+4х+50=400. Решаем его и получаем, что килограмм яблок стоит 50 рублей, а килограмм груш - 60 рублей. Пишем ответ в соответствии с условием задачи.
Видео по теме

Совет 5 : Как решить задачу с частями

Одними из интереснейших задач в математике являются задачи «на части». Они бывают трех видов: определение одной величины через другую, определение двух величин через сумму этих величин, определение двух величин через разность данных величин. Для того чтобы процесс решения стал максимально легким, необходимо, конечно, знать материал. На примерах рассмотрим, как решать задачи такого типа.
Как решить задачу с частями
Инструкция
1
Условие 1. Роман поймал на речке 2,4 кг окуней. 4 части он отдал сестре Лене, 3 части – брату Сереже, а одну часть оставил себе. Сколько кг окуней получил каждый из детей?
Решение: Обозначьте массу одной части через Х (кг), тогда масса трех частей – 3Х (кг), а масса четырех частей – 4Х (кг). Известно, что всего было 2,4 кг, составим и решим уравнение:

Х + 3Х + 4Х =2,4

8Х = 2,4

Х = 0,3 (кг) – окуней получил Роман.

1) 3*0,3 = 0,9 (кг) – рыбы дали Сереже.

2) 4*0,3 = 1,2 (кг) – окуней получила сестра Лена.

Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг.
2
Следующий вариант тоже разберем на примере:

Условие 2. Для приготовления грушевого компота нужна вода, груши и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4,3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять каждого компонента ( по массе), чтобы приготовить 13,5 кг компота?
Решение: Пусть для приготовления компота требуется a (кг) воды, b (кг) груш, c (кг) сахара.

Тогда a/4=b/3=с/2. Примем каждое из отношений за Х. Тогда a/4=Х, b/3=Х, с/2 = Х. Отсюда следует, что a = 4Х, b = 3X, c = 2X.
По условию задачи, a + b + c =13,5 (кг). Из этого следует, что

4Х + 3Х + 2Х =13,5

9Х = 13,5

Х = 1,5

1) 4*1,5 = 6 (кг) – воды;

2) 3*1,5 = 4,5 (кг) – груш;

3) 2*1,5 = 3 (кг) – сахара.

Ответ: 6, 4,5 и 3 кг.
3
Следующий тип решения задач «на части» - на нахождение дроби от числа и числа от дроби. При решении задач такого типа необходимо запомнить два правила:

1. Для того чтобы найти дробь от определенного числа, нужно это число умножить на данную дробь.

2. Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
На примере разберем такие задачи. Условие 3: Найти значение Х, если 3/5 части этого числа равны 30.

Оформим решение в виде уравнения:

В соответствии с правилом, имеем

3/5Х = 30

Х = 30:3/5

Х = 50.
4
Условие 4: Найти площадь огорода, если известно, что вскопали 0,7 всего огорода, а осталось вскопать 5400 м2?

Решение:

Возьмем весь огород за единицу (1). Тогда,

1). 1 – 0,7 = 0,3 – не вскопанная часть огорода;

2). 5400:0,3 = 18000(м2) – площадь всего огорода.

Ответ: 18000 м2.
Рассмотрим еще один пример.

Условие 5: Путешественник был в пути 3 дня. В первый день он прошел1/ 4 часть пути, во второй – 5/9 оставшегося пути, в последний день он прошел оставшиеся 16 км. Необходимо найти весь путь путешественника.

Решение: Возьмем весь путь за Х (км). Тогда, в первый день он прошел 1/ 4Х(км), во второй – 5/9(Х – 1/ 4Х) = 5/9*3/4Х = 5/12Х. Зная, что в третий день он прошел 16 км, то:

1/4Х + 5/12 + 16=Х

1/4Х+5/12-Х=-16

-1/3Х=-16

Х=-16 :(-1/3)

Х=48

Ответ: Весь путь путешественника равен 48 км.
5
Условие 6: Купили 60 ведер, причем 5-литровых было в 2 раза больше, чем 10-литровых. Сколько частей приходится на ведра 5литров, на ведра 10 литров, на все ведра? Сколько купили 5-литровых и 10-литровых ведер?

Пусть ведра 10-литровые составляют 1 часть, тогда 5-литровые составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все ведра;

2) 60:3 = 20 (ведра.) — приходится на 1 часть;

3) 20·2 = 40 (ведра) — приходится на 2 части (пятилитровые ведра).
6
Условие 7: На выполнение домашнего задания (алгебра, физика и геометрия) Рома потратил 90 минут. На физику он затратил 3/4 того времени, что потратил на алгебру, а на геометрию на 10 мин меньше, чем на физику. Сколько времени Рома потратил на каждый предмет отдельно.

Решение: Пусть х (мин) он потратил на алгебру. Тогда 3/4х (мин) ушло на физику, а на геометрию затрачено (3/4х – 10) минут.

Зная, что на все уроки он потратил 90 минут, составим и решим уравнение:

Х+3/4х+3/4х-10=90

5/2х=100

Х=100:5/2

Х=40 (мин) – ушло на алгебру;

3/4*40=30(мин) - на физику;

30-10=20 (мин) - на геометрию.

Ответ: 40 мин, 30 мин,20 мин.
Полезный совет
При решении задач на части надо научиться принимать подходящую величину за 1 часть. Научиться узнавать, сколько частей приходится на другую величину, на их сумму или разность.
Источники:
  • Задачи

Совет 6 : Как записать условие задачи

Условие задачи - это та исходная информация, от которой приходится отталкиваться, когда эту задачу решаешь. В формулировке задачи условие часто дано в несколько сумбурном виде, в виде неструктурированного текста. Вы легче справитесь с решением, если составите четкий список условий, которые вам нужно обязательно учесть.
Как записать условие задачи
Инструкция
1
Итак, вам дана задача. Внимательно прочитайте ее условие. Если текст небольшой, будет довольно просто выделить в нём отдельные подпункты, например: исходное количество материала и время, которое может быть затрачено на производство той или иной детали. В зависимости от тематики и сложности задачи будут варьироваться и исходные подпункты условия.
2
Условие всегда записывается перед решением задачи. Даже если у вас в голове появились какие-то гениальные идеи, сначала выпишите условие. Может быть, придуманное вами решение заведет вас не в ту степь, а обращаться всякий раз к тексту в поисках нужной информации будет не совсем удобно. В условии же вы всегда найдете то, что вам может понадобиться в процессе работы над задачей.
3
Записывая условие, будьте так же усердны, как и при выполнении вычислений. Не пренебрегайте мелкими деталями, особенно если перед вами большая и сложная задача, для решения которой нужно применить целый комплекс знаний, а не просто вспомнить пару-тройку примеров из школьной программы за пятый класс и таблицу умножения. Детальная запись условия поможет вам и при решении логических задач, хотя, казалось бы, нужно быть гением, чтобы в таких задачках разобраться. Помните: всё гениальное просто.
4
При записи условия задачи нужно учитывать не только содержание, но и форму. Как уже было сказано, нужно вычленить из связного текста какую-то ключевую, исходную информацию и записать ее так, чтобы можно было потом без труда к ней обратиться. Лучше всего воспринимается информация, записанная в столбик. Так, каждое отдельное маленькое условие будет помещено в отдельную строчку и не будет перемешиваться и перепутываться с другими условиями. Поэтому не пожалейте места и выпишите в столбик все необходимые сведения.

Совет 7 : Как быстро решать задачи

Основным фактором, влияющим на скорость решения любой задачи, является хорошее понимание ее условия. Это касается не только математики, но и других предметов. Если условие задачи – текстовое, то предварительно нужно его формализовать, т.е. перевести на язык цифр. В некоторых случаях для большей наглядности требуется построение графика или схемы.
Как быстро решать задачи
Инструкция
1
Умение быстро решать задачи не только помогает получить хорошую оценку, но и научиться мыслить и действовать максимально эффективно в любой ситуации. Развивается смекалка, которая помогает не только в учебе. Есть несколько приемов увеличить скорость своей реакции и способности самостоятельно найти ответ.
2
Основным этапом решения является правильный и полный анализ начальных данных. Изучите условие задачи с максимальной точностью и скрупулезностью. Возможно, вы потратите на это большую часть отведенного времени, зато потом вам легче будет составить план решения.
3
Нарисуйте схему или постройте график, даже если задача этого не требует. Наглядное изображение всех известных величин поможет зрительно охватить все, что уже есть в вашем распоряжении. Вы выявите то, что необходимо для нахождения итогового или промежуточного ответа.
4
Напишите прямо на графике или схеме формулы и законы, наметив таким образом этапы будущего плана. Для большего удобства составьте схему в виде графа: кружочками обведите известные величины, квадратами – неизвестные, треугольниками - промежуточные. Соедините фигуры стрелками по принципу «что из чего вытекает». Вместо геометрических фигур можно использовать ручки разных цветов.
5
Составьте план решения по уже готовой схеме. В сущности, это все, остается только оформить решение по принятым в данном предмете правилам и записать ответ. Не забудьте в скобках указать размерность, если она есть.
6
Чтобы научиться быстро решать задачи, нужно хорошо знать теорию, иначе все рекомендации будут бессмысленными. Вы должны не только знать и помнить все законы и формулы, но и уметь применять их в конкретной ситуации.
7
Старайтесь сразу выделять идею, которая является центральной в задаче. Если задача слишком сложная, т.е. состоит из нескольких частей, то разбейте ее на законченные отдельные части. Не бойтесь потерять время, наоборот, это поможет вам не распаляться, а последовательно прийти к итоговому ответу.
Видео по теме

Совет 8 : Как оформить задачи по математике

Правильное оформление задачи является одним из важных условий получения положительной оценки за работу. Более того, некорректно поданное решение, особенно если дело касается вузов, может и вовсе послужить недопуском к защите контрольной работы или домашнего задания.
Как оформить задачи  по математике
Инструкция
1
Ознакомьтесь с методическими рекомендациями вашего учебного заведения относительно правильного оформления различных работ по математике. Если таковых нет, используйте стандартные правила оформления задач.
2
Используйте всегда только ручки и карандаши черных, синих и фиолетовых цветов. Изредка возможно дополнительное оформление отдельных моментов зеленым цветом. Учтите, что красная гамма исключительно для преподавателя. При оформлении задачи обязательно должны быть оставлены поля с одной из сторон листа, шириной не менее 1,5-2 см.
3
Написание работы начините с указания текущей даты, типа задания – это может быть «домашняя работа», «подготовка к контрольной работе», «аттестационная работа» и так далее. Далее изложите условие задачи - напишите слово «Условие», поставьте после него двоеточие и с маленькой буквы перепишите данные. Если это позволено преподавателем, можно просто указать вариант и написать порядковый номер задачи.
4
Если заданий несколько, решайте их в любой последовательности – это никак не повлияет на будущую оценку. Главное, правильно указать номер и не перепутать условия.
5
Приступая к решению, оформите его словом «Решение» и после двоеточия излагайте свои знания. Первыми, как правило, указываются формулы, теоремы и правила, на которые вы опираетесь при решении. Сначала указывается формула, после этого идет непосредственно ее применение. Теоремы не нужно дословно цитировать, достаточно просто сослаться на них, указав название.
6
При решении показывайте ход своих мыслей, дополняя текст словами, типа «поскольку», «согласно», «так как», «допустим, что», «таким образом», «сделаем вывод» и так далее.
7
Обязательно оформляйте задачи по математике соответствующими графиками, чертежами, таблицами и другими аналогичными элементами. При этом все они должны рисоваться твердым тонким карандашом. Рисунки должны быть четкими и аккуратными. Неправильно сделанный рисунок считается большой ошибкой, поскольку заранее предопределяет неверное решение задачи. В графиках должны быть грамотно указаны единицы измерения, обозначения осей координат.
8
После решения каждой задачи, выделяйте «Ответ» и подытоживайте сделанные выводы и полученный результат. В конце всей работы оставьте место для пометок и рецензии преподавателя. С этой же целью оставляйте небольшое количество места после каждой решенной задачи.
9
Если работа по математике будет представляться учебному руководителю на отдельном листе, поместите решение задач внутрь двойного листка, оставив титульную страницу для указания типа работы, вашего имени и фамилии, учебного заведения, класса (для школы) или факультета, кафедры и группы (для вузов). Не всегда приемлема сдача работы на одинарном листе либо же на отдельной его части.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500