Совет 1: Как найти площадь треугольника зная все его стороны

Умение вычислять площадь геометрических фигур нужно не только в стенах школы для решения задач. Оно может пригодиться и в повседневной жизни при строительстве или проведении ремонта.
Вам понадобится
  • Линейка, карандаш, циркуль, калькулятор.
Инструкция
1
Стороны и углы считаются основными элементами треугольника. Треугольник полностью определяется любой из следующих троек своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника, задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.
2
Для построения треугольника по трем сторонам a, b, c, необходимо из точки С отрезка СВ=a как из центра провести циркулем окружность радиусом b. Затем аналогичным образом провести из точки B окружность радиусом равным стороне c. Точка их пересечения A – третья вершина искомого треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b - стороны треугольника. Задача имеет решение, если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.
Как найти <strong>площадь</strong> <em>треугольника</em> зная все его стороны
3
Площадь S, построенного таким образом треугольника ABC с известными сторонами a, b, c, вычисляется по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр.
p = (a+b+c)/2
4
Если треугольник является равносторонним, то есть все его стороны равны (a=b=c).Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S=(a^2 v3)/4
5
Если треугольник является равнобедренным, то есть его боковые стороны а и b равны, а сторона с-основание. Площадь вычисляется так:
S=c/4 v(?4a?^2-c^2 )
6
Если треугольник является равнобедренный прямоугольный, то есть боковые стороны а и b равны, угол вершины треугольника ?=90°, а углы при основании ?=?=45°. Используя числовые значения сторон, можно вычислить площадь по формуле:
S=c^2/4=a^2/2
7
Если треугольник является прямоугольным, то есть один из его углов равен 90°, а стороны, его образующие, называются катетами, третья сторона называется гипотенузой. В данном случае площадь равняется произведению катетов, деленному на два.
S=ab/2

Совет 2: Как находить площадь треугольника в 2017 году

Чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.
Вам понадобится
  • знание формул для нахождения площади треугольника
Инструкция
1
Если вы знаете величину одной из сторон треугольника и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей формуле: S = a*h/2, где S - площадь треугольника, a - одна из сторон треугольника, а h - высота, проведенная к стороне a.
2
Если известны две стороны и величина угла между ними, то воспользуйтесь таким вариантом предыдущей формулы: S = a*h/2 = a*b*sinα/2, где α - угол между сторонами a и b.
3
Существует известная формула для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она называется формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину - полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c - стороны треугольника. Тогда формула Герона выглядит следующим образом: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ означает возведение в степень.
4
Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β - угол, противолежащий стороне a, а α и γ - прилежащие к стороне углы.
Видео по теме
Обратите внимание
Самая общая формула, которая подходит для всех случаев - это формула Герона.
Источники:
  • Как находить площадь треугольника

Совет 3: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.
Вам понадобится
  • длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов
Инструкция
1
Пусть задана треугольник ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площадь такого треугольника можно найти по формуле Герона.

Периметр треугольника P - это сумма длин его трех сторон: P = a+b+c. Обозначим его полупериметр за p. Он будет равен p = (a+b+c)/2.
2
Формула Герона для площади треугольника выглядит следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
3
Можно вывести формулу для площади треугольника и из других соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти выражения можно также записать в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
4
Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его косинус с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.
Видео по теме

Совет 4: Как найти площадь стены

Для проведения ремонтных работ бывает необходимо измерить площадь стен. Так проще рассчитать необходимое количество краски или обоев. Для измерений лучше всего воспользоваться рулеткой или сантиметровой лентой. Замеры следует проводить уже после того, как стены были выровнены.
Вам понадобится
  • -рулетка;
  • -стремянка.
Инструкция
1
Чтобы посчитать площадь стен, вам необходимо знать точную высоту потолков, а также произвести замеры длины стены по полу. Делается это следующим образом: возьмите сантиметр, проложите его снизу над плинтусом. Обычно сантиметра для измерения всей длины не хватает, поэтому закрепите его в углу, затем размотайте на максимальную длину. В этой точке поставьте отметку карандашом, запишите полученный результат и дальнейшее измерение проводите тем же образом, начиная с последней точки замера.
2
Стандартная высота потолков в типовых квартирах - 2 метра 80 сантиметров, 3 метра и 3 метра 20 сантиметров, в зависимости от дома. Если дом был построен до 50-х годов, то, скорее всего, реальная высота несколько ниже указанной. Если вы вычисляете площадь для ремонтных работ, то небольшой запас не повредит - считайте, исходя из стандарта. Если все же необходимо знать реальную высоту - проведите замеры самостоятельно. Принцип аналогичен измерению длины, но потребуется стремянка.
3
Перемножьте полученные показатели - это и есть площадь вашей стены. Правда, при покрасочных работах или для покупки обоев необходимо вычесть площадь дверных и оконных проемов. Для этого проложите сантиметр вдоль проема. Если речь идет о двери, которую вы впоследствии собираетесь менять, то проводите замер со снятой дверной коробкой, учитывая только площадь непосредственно самого проема. Площадь окна высчитывается по периметру его рамы. После того, как площадь окна и дверного проема высчитана, вычтите результат из общей полученной площади комнаты.
4
Учтите, что замеры длины и ширины комнаты лучше проводить вдвоем, так легче зафиксировать сантиметр или рулетку и, соответственно, получить более точный результат. Проводите один и тот же замер несколько раз, чтобы убедиться в точности полученных цифр.
Видео по теме

Совет 5: Как найти площадь треугольника

Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник - двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение - объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.
Вам понадобится
  • лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор
Инструкция
1
Начертите на листе бумаги произвольный треугольник при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет объема, так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной "а", другая - стороной "b", и третья - стороной "c". Подпишите вершины треугольника буквами "А", "B" и "C".
2
Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет являться высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр "h" восстановлен к стороне "c" из вершины "A". Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.
3
Подсчитайте площадь треугольника, используя следующую формулу: длину стороны "c" умножьте на высоту "h" и разделите получившееся значение на 2.
4
Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника "p", сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете рассчитать площадь треугольника по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего выражения: p(p-a)(p-b)(p-c).
5
Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема у треугольника не существует. Вы можете найти объем пирамиды, которая по сути является треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет равен произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.
Обратите внимание
Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения
Источники:
  • Калькулятор “Все во все” - портал по справочным величинам
  • объем треугольника в 2017

Совет 6: Как найти площадь треугольника по трем точкам

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь. Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
1
Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника. В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с их определения. Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты вершин A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
2
Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из названия понятно, что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
3
Рассчитайте площадь (S) по формуле Герона - извлеките корень из произведения полупериметра на разность между ним и длиной каждой из сторон. В общем виде ее можно записать так: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √( P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).
4
Для практических расчетов удобно пользоваться специализированными онлайн-калькуляторами. Это скрипты, размещенные на серверах некоторых сайтов, которые проделают все необходимые расчеты на основе координат, введенных вами в соответствующую форму. Единственный недостаток такого сервиса - он не дает объяснений и обоснований для каждого шага вычислений. Поэтому, если вас интересует только конечный результат, а не вычисления в общем виде, перейдите, например, на страницу http://planetcalc.ru/218/.
5
В поля формы раздельно введите каждую координату каждой из вершин треугольника - они обозначены здесь как Ax, Ay, Az и т.д. Если треугольник задан двухмерными координатами, в поля аппликат - Az, Bz и Cz - пишите ноль. В поле «Точность вычисления» установите нужное число знаков после запятой, кликая мышкой пиктограммы плюса или минуса. Помещенную под формой оранжевую кнопку «Рассчитать» нажимать не обязательно, вычисления будут произведены и без этого. Ответ вы найдете рядом с надписью «Площадь треугольника» - она размещена сразу под оранжевой кнопкой.
Источники:
  • найдите площадь треугольника с вершинами в точках

Совет 7: Как найти площадь треугольника по двум сторонам

Иногда в жизни приходится сталкиваться с ситуациями, в которых нужны знания из геометрии. Такая информация в повседневной жизни редко используются, поэтому забывается. Одним из востребованных вопросов является поиск площади треугольника при помощи длины двух его сторон.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Площадь треугольника, вычисляемая по длине двух его сторон, требует еще и замера угла между ними. Для этого воспользуйтесь транспортиром или другими специальными инструментами. Например, малка - весьма удобна для измерения углов в комнате.
2
После того, как вы нашли размер двух сторон треугольника и угла между ними, перейдите к расчетам. Находить площадь следует по следующей формуле: S∆ abc = 1/2 ab sin угла. При этом, если вы имеете прямой угол в треугольнике между двумя известными сторонами, то формулу можно сократить: S∆ abc = 1/2 ab.
3
Чтобы вычислить синус угла можно воспользоваться тригонометрической таблицей Брадиса, где даны значения для самых распространенных размеров углов. Еще одним неплохим способом для вычисления синуса угла является калькулятор. В каждой операционной системе Windows он есть среди стандартных программ. Откройте его и переключите в режим «Инженерный», который находится в разделе «Вид». После чего вводите размер угла, синус которого хотите вычислить. Дальше выберите единицы измерения для рассчитываемого ответа. Это могут быть градусы, радианы или рады. Сделать это можно с помощью кнопок, расположенных под полем ввода. Нажмите клавишу «sin» и получите результат.
4
Конечно, синус угла сегодня можно вычислить и с помощью различных продвинутых онлайн калькуляторов с удобным интерфейсом и большими функциональными возможностями. Найти такую программу в интернете не составит труда, потому что их предлагается много. Просто впишите в поисковик «калькулятор тригонометрических функций».
5
Теперь перемножайте длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, делите все на 2 и ответ готов. Площадь треугольника найдена.
Видео по теме
Обратите внимание
Треугольник образован соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500