Совет 1: Как найти проекцию скорости

Вектор скорости характеризует движение тела, показывая направление и быстроту перемещения в пространстве. Скорость как функция является первой производной от уравнения координаты. Производная от скорости даст ускорение.
Как найти проекцию скорости
Инструкция
1
Сам по себе заданный вектор ничего не дает в плане математического описания движения, поэтому его рассматривают в проекциях на координатные оси. Это может быть одна координатная ось (луч), две (плоскость) или три (пространство). Чтобы найти проекции, нужно опустить перпендикуляры из концов вектора на оси.
2
Проекция представляет собой как бы «тень» вектора. Если тело движется перпендикулярно рассматриваемой оси, проекция выродится в точку и будет иметь нулевое значение. При движении параллельно координатной оси проекция совпадает с модулем вектора. И когда тело движется так, что его вектор скорости направлен под некоторым углом φ к оси x, проекция на ось x будет отрезком: V(x)=V•cos(φ), где V – модуль вектора скорости. Проекция положительна, когда направление вектора скорости совпадает с положительным направлением координатной оси, и отрицательна в обратном случае.
3
Пусть движение точки задано координатными уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Тогда функции скорости, спроецированной на три оси, будут иметь вид, соответственно, V(x)=dx/dt=x'(t), V(y)=dy/dt=y'(t), V(z)=dz/dt=z'(t), то есть для нахождения скорости нужно взять производные. Сам вектор скорости будет выражаться уравнением V=V(x)•i+V(y)•j+V(z)•k, где i, j, k – единичные векторы координатных осей x, y, z. Модуль скорости можно вычислить по формуле V=√(V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2).
4
Через направляющие косинусы вектора скорости и единичные отрезки координатных осей можно задать направление вектору, отбросив его модуль. Для точки, которая движется в плоскости, достаточно двух координат, x и y. Если тело совершает движение по окружности, направление вектора скорости непрерывно изменяется, а модуль может как сохраняться постоянным, так и меняться во времени.

Совет 2: Как определить проекцию вектора

Вектор можно рассматривать как упорядоченную пару точек в пространстве или направленный отрезок. В школьном курсе аналитической геометрии часто рассматриваются разные задачи на определение его проекций - на координатные оси, на прямую, на плоскость или на другой вектор. Обычно речь идет о двух- и трехмерных прямоугольных системах координат и перпендикулярных проекциях вектора.
Как определить проекцию вектора
Инструкция
1
Если вектор ā задан координатами начальной A(X₁,Y₁,Z₁) и конечной B(X₂,Y₂,Z₂) точек, а найти требуется его проекцию (P) на оси прямоугольной координатной системы, сделать это очень просто. Посчитайте разность соответствующих координат двух точек - т.е. проекция вектора AB на ось абсцисс будет равна Px = X₂-X₁, на ось ординат Py = Y₂-Y₁, аппликат - Pz = Z₂-Z₁.
2
Для вектора, заданного парой или тройкой (в зависимости от размерности пространства) своих координат ā{X,Y} или ā{X,Y,Z} упростите формулы предыдущего шага. В этом случае его проекции на координатные оси (āx, āy, āz) равны соответствующим координатам: āx = X, āy = Y и āz = Z.
3
Если в условиях задачи координаты направленного отрезка не указаны, но дана его длина |ā| и направляющие косинусы cos(x), cos(y), cos(z), определить проекции на координатные оси (āx, āy, āz) можно как в обычном прямоугольном треугольнике. Просто перемножьте длину на соответствующий косинус: āx = |ā|*cos(x), āy = |ā|*cos(y) и āz = |ā|*cos(z).
4
По аналогии с предыдущим шагом, проекцией вектора ā(X₁,Y₁) на другой вектор ō(X₂,Y₂) можно считать его проекцию на произвольно взятую ось, параллельную вектору ō и имеющую совпадающее с ним направление. Для вычисления этой величины (ā₀) умножайте модуль вектора ā на косинус угла (α) между направленными отрезками ā и ō: ā₀ = |ā|*cos(α).
5
Если угол между векторами ā(X₁,Y₁) и ō(X₂,Y₂) неизвестен, для вычисления проекции (ā₀) ā на ō разделите их скалярное произведение на модуль ō: ā₀ = ā*ō/|ō|.
6
Ортогональной проекцией вектора AB на прямую L называют отрезок этой прямой, образованный перпендикулярными проекциями начальной и конечной точек исходного вектора. Для определения координат точек проекции используйте формулу, описывающую прямую (в общем виде a*X+b*Y+c=0), и координаты начальной A(X₁,Y₁) и конечной B(X₂,Y₂) точек вектора.
7
Аналогичным способом находите и ортогональную проекцию вектора ā на плоскость, заданную уравнением - это должен быть направленный отрезок между двумя точками плоскости. Координаты его начальной точки рассчитайте из формулы плоскости и координат начальной точки исходного вектора. Это же относится и к конечной точке проекции.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500