Совет 1: Как найти площадь треугольника, образованного прямыми

Если предстоит найти площадь самого обычного треугольника, заданного прямыми, это автоматически подразумевает, что уравнения этих прямых тоже заданы. Именно на этом и будет базироваться ответ.
Инструкция
1
Считайте, что уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника известны. Это уже гарантирует, что все они лежат в одной плоскости и пересекаются между собой. Следует найти точки пересечения, решая системы, составленные из каждой пары уравнений. При этом каждая система в обязательном порядке будет иметь единственное решение. Задачу иллюстрирует рисунок 1. Считайте, что плоскость изображения принадлежит пространству и что уравнения для прямых, заданы параметрически. Они представлены на этом же рисунке.
Как найти площадь треугольника, образованного прямыми
2
Найдите координаты точки А (xa, ya, za), лежащей в пересечении f1 и f2 и составьте уравнение, где xa=x1 +m1*t1 или xa=х2 +m2*τ1. Следовательно, x1 +m1*t1=х2 +m2*τ1. Для координат ya и za аналогично. Возникла система (см. рис. 2). Эта система избыточна, так как для определения двух неизвестных вполне достаточно двух уравнений. Это означает, что одно из них является линейной комбинацией двух других. Ранее было оговорено, что решение гарантировано однозначно. Поэтому оставьте два, на ваш взгляд наиболее простых уравнения и, решив их, найдете t1 и τ1. Достаточно и одного из этих параметров. После этого найдите уа и za. В сокращенном виде основные формулы приведены на том же рисунке 2, так как доступный редактор может вызвать разночтения формул. Точки В(xb, yb, zb) и С(xc, yc, zc) найдите по аналогии с уже записанными выражениями. Просто заменяйте «лишние» параметры величинами соответствующими каждой из вновь применяемых прямых, оставляя неизменной нумерацию индексов.
Как найти площадь треугольника, образованного прямыми
3
Подготовительные действия завершены. Ответ можно получить на основании геометрического подхода или алгебраического (точнее векторного). Начните с алгебраического. Известно, что геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах. Найдите, скажем, векторы AB и AC. АВ={xb-xa, yb-ya, zb-za}, AC={xc-xa, yc-ya, zc-za}. Их векторное произведение [AB×AC] определите в координатной форме. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Ответ вычислите в соответствии с формулой S=(1/2)|[AB×BC]|.
4
Для получения ответа на основе геометрического подхода найдите длины сторон треугольника. а=|BC|=√((xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2), b=|AC|=√((xc-xa)^2+(yc-ya)^2+(zc-za)^2), c=|AB|=√((xc-xb)^2+(yc-yb)^2+(zc-zb)^2). Вычислите полупериметр p=(1/2)(a+b+c). Определите площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Совет 2: Как находить площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.
Вам понадобится
  • знание формул для нахождения площади треугольника
Инструкция
1
Если вы знаете величину одной из сторон треугольника и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей формуле: S = a*h/2, где S - площадь треугольника, a - одна из сторон треугольника, а h - высота, проведенная к стороне a.
2
Если известны две стороны и величина угла между ними, то воспользуйтесь таким вариантом предыдущей формулы: S = a*h/2 = a*b*sinα/2, где α - угол между сторонами a и b.
3
Существует известная формула для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она называется формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину - полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c - стороны треугольника. Тогда формула Герона выглядит следующим образом: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ означает возведение в степень.
4
Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β - угол, противолежащий стороне a, а α и γ - прилежащие к стороне углы.
Видео по теме
Обратите внимание
Самая общая формула, которая подходит для всех случаев - это формула Герона.
Источники:
  • Как находить площадь треугольника

Совет 3: Как найти площадь прямого треугольника

Треугольник – это простейший многоугольник, имеющий три вершины и три стороны. Треугольник, один из углов которого является прямым, называется прямоугольным. Для прямоугольных треугольников применимы все формулы для треугольников общего вида. Однако их можно видоизменить, учитывая свойства прямого угла.
Инструкция
1
Основная формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту выглядит следующим образом: S = 1/2 * b * h, где b – это сторона треугольника, а h – высота треугольника. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Для прямоугольного треугольника высота к катету b совпадает с катетом а. Таким образом, вы получите формулу для вычисления площади треугольника с прямым углом: S = 1/2 * a * b.
2
Рассмотрите пример. Пусть в прямоугольном треугольнике а = 3, b = 4. Тогда S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Посчитайте площадь того же треугольника, но теперь пусть известен только один катет b = 4. А также известен угол α, tg α = 3/4. Тогда из выражения для тригонометрической функции тангенс угла α выразите катет a: tg α = a/b => a = b * tg α. Подставьте это значение в формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника и получаем: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tg α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
3
Рассмотрите как частный случай вычисление площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Равнобедренный треугольник – это треугольник, в котором две стороны равны между собой. В случае прямоугольного треугольника получается a = b. Запишите теорему Пифагора для этого случая: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Далее подставьте это значение в формулу вычисления площади следующим образом: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4.
4
Посчитайте площадь равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть гипотенуза равна 4 * √2. Тогда площадь треугольника вычисляется как S = c^2 / 4 = 16 * 2 / 4 = 8.
5
Если известны радиусы вписанной r и описанной R окружностей, то площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле S = r^2 + 2 * r * R. Пусть радиус вписанной в треугольник окружности r = 1, радиус описанной вокруг треугольника окружности R = 5/2. Тогда S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
Видео по теме
Полезный совет
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R = c / 2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (a + b – c) / 2.

Совет 4: Как найти площадь треугольника

Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник - двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение - объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.
Вам понадобится
  • лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор
Инструкция
1
Начертите на листе бумаги произвольный треугольник при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет объема, так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной "а", другая - стороной "b", и третья - стороной "c". Подпишите вершины треугольника буквами "А", "B" и "C".
2
Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет являться высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр "h" восстановлен к стороне "c" из вершины "A". Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.
3
Подсчитайте площадь треугольника, используя следующую формулу: длину стороны "c" умножьте на высоту "h" и разделите получившееся значение на 2.
4
Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника "p", сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете рассчитать площадь треугольника по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего выражения: p(p-a)(p-b)(p-c).
5
Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема у треугольника не существует. Вы можете найти объем пирамиды, которая по сути является треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет равен произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.
Обратите внимание
Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения
Источники:
  • Калькулятор “Все во все” - портал по справочным величинам, константам и их переводу.
  • объем треугольника

Совет 5: Как найти площадь треугольника по векторам

Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.
Инструкция
1
Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника. Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то формулу площади треугольника можно записать так: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.
2
Например, пусть даны такие координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Тогда, подставив числовые значения переменных в приведенную на предыдущем шаге формулу, вы получите: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.
3
Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон. В этом случае сначала найдите длины сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты). Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то длины сторон будут следующими: AB=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), BC=√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), CA=√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²). Например, для координат вершин треугольника, приведенных на втором шаге, эти длины составят AB=√((-2-3)²+(2-3)²)=√((-5)²+(-1)²)=√(25+1)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)=√((-2)²)+5²)=√(4+25)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)=√(7²+(-4)²)=√(49+16)≈8,06.
4
Найдите полупериметр, сложив известные теперь длины сторон и разделив результат на двойку: p=0,5•(√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²)+√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²)+√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²)). Например, для длин сторон, рассчитанных на предыдущем шаге, полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.
5
Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)). Например, для образца из предыдущих шагов: S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))=√(9,26•4,16•3,9•1,2)=√180,28≈13,42. Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на втором шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.

Совет 6: Как найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, вычисляется как произведение длин этих векторов на синус угла между ними. Если известны только координаты векторов, то для вычисления нужно применять координатные методы, в том числе и для определения угла между векторами.
Вам понадобится
  • - понятие вектора;
  • - свойства векторов;
  • - декартовы координаты;
  • - тригонометрические функции.
Инструкция
1
В том случае, если известны длины векторов и угол между ними, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, найдите произведение их модулей (длин векторов), на синус угла между ними S=│a│•│ b│•sin(α).
2
Если векторы заданы в декартовой системе координат, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на них, проделайте следующие действия:
3
Найдите координаты векторов, если они не даны сразу, отняв от соответствующих координат концов векторов, координаты из начал. Например, если координаты начальной точки вектора (1;-3;2), а конечной (2;-4;-5), то координаты вектора будут (2-1;-4+3;-5-2)=(1;-1;-7). Пусть координаты вектора а(x1;y1;z1), вектора b(x2;y2;z2).
4
Найдите длины каждого из векторов. Возведите каждую из координат векторов в квадрат, найдите их сумму x1²+y1²+z1². Из получившегося результата извлеките корень квадратный. Для второго вектора проделайте ту же процедуру. Таким образом, получится │a│и│ b│.
5
Найдите скалярное произведение векторов. Для этого перемножьте их соответствующие координаты и сложите произведения │a b│= x1• x2+ y1•y2+ z1• z2.
6
Определите косинус угла между ними для чего скалярное произведение векторов, получившееся в п.3 поделите на произведение длин векторов, которые были рассчитаны в п. 2 (Cos(α)= │a b│/(│a│•│ b│)).
7
Синус полученного угла будет равен корню квадратному из разности числа 1, и квадрата косинуса того же угла, рассчитанного в п. 4 (1-Cos²(α)).
8
Рассчитайте площадь параллелограмма, построенного на векторах найдя произведение их длин, вычисленное в п. 2, а результат умножьте на число, получившееся после расчетов в п.5.
9
В том случае, если координаты векторов заданны на плоскости, при расчетах координата z просто отбрасывается. Данный расчет является числовым выражением векторного произведения двух векторов.
Видео по теме

Совет 7: Как найти уравнения сторон треугольника

Чтобы найти уравнения сторон треугольника, прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.
Инструкция
1
Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} (можно записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по отношению к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое уравнение прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в дальнейшем при решении поставленной задачи.
2
Все дальнейшие действия определяются исходя из способа задания треугольника.1-й способ. Треугольник задан координатами точек трех его вершин, что в школьной геометрии соответствует заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы ) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения стороны М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).
3
Итак, для стороны М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон.Для стороны М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для стороны М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
4
2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон. Для стороны М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому ответ для стороны М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
5
Для стороны М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения берется (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для стороны М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Видео по теме
Видео по теме
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. 3-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 1996. 496 с.: ил.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше