Совет 1: Как вывести формулу медианы треугольника

Медиана в треугольнике – это отрезок, который проводят из вершины угла к середине противоположной стороны. Чтобы найти длину медианы, необходимо воспользоваться формулой выражения ее через все стороны треугольника, которую нетрудно вывести.
Инструкция
1
Чтобы вывести формулу для медианы в произвольном треугольнике, необходимо обратиться к следствию из теоремы косинусов для параллелограмма, получающегося путем достраивания треугольника. Формулу можно доказать на этом основании, она очень удобна при решении задач, если известны все длины сторон или их легко можно найти из других начальных данных задачи.
2
Фактически теорема косинусов представляет собой обобщение теоремы Пифагора. Она звучит так: для двумерного треугольника с длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо следующее равенство:a² = b² + c² – 2•b•c•cos α.
3
Обобщающее следствие из теоремы косинусов определяет одно из важнейших свойств четырехугольника: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².
4
Решите задачу: пусть в произвольном треугольнике ABC известны все стороны, найдите его медиану BM.
5
Достройте треугольник до параллелограмма ABCD добавлением линий, параллельных a и c. таким образом, сформировалась фигура со сторонами a и c и диагональю b. Удобнее всего строить так: отложите на продолжении прямой, которой принадлежит медиана, отрезок MD той же длины, соедините его вершину с вершинами оставшихся двух сторон A и C.
6
По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения на равные части. Примените следствие из теоремы косинусов, согласно которому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме удвоенных квадратов его сторон:BK² + AC² = 2•AB² + 2•BC².
7
Поскольку BK = 2•BM, а BM – это медиана m, то:(2•m) ² + b² = 2•c² + 2•a², откуда:m = 1/2•√(2•c² + 2•a² - b²).
8
Вы вывели формулу одной из медиан треугольника для стороны b: mb = m. Аналогично находятся медианы двух других его сторон:ma = 1/2•√(2•c² + 2•b² - a²);mc = 1/2•√(2•a² + 2•b² - c²).

Совет 2: Как найти медиану треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.
Инструкция
1
Медиану можно найти используя теорему Стюарта. Согласно которой, квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана.
mc^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4,
где
a, b, c - стороны треугольника.
mc - медиана к стороне с;
2
Задача по нахождению медианы может быть решена через дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника и медиану, достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника - его боковым сторонам (a, b), а третья сторона треугольника, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
где
d1, d2 - диагонали получившегося параллелограмма;
отсюда:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)
Треугольник и дополнительные построения

Совет 3: Как найти медиану треугольника по его сторонам

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника.
Вам понадобится
  • Линейка
Инструкция
1
Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг другу сторонами. Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы находятся абсолютно аналогично. Эта формула выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.
2
Если треугольник ABC - равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей формулы длины медианы треугольника, для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.
3
Если треугольник ABC - равносторонний, то, очевидно, что все его медианы равны друг другу. Так как угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусам, то AE = BO = CP = a*sqrt(3)/2, где a = AB = AC = BC - длина стороны равностороннего треугольника.
Источники:
  • Медианы и бессектрисы треугольника

Совет 4: Как найти длину медианы

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника. Медиану также можно найти и по другим данным.
Вам понадобится
  • Длины сторон треугольника, углы между сторонами треугольника
Инструкция
1
Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг другу сторонами. Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы находятся абсолютно аналогично. Эта формула выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.
2
Если треугольник ABC - равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей формулы длины медианы треугольника, для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.
3
Если треугольник ABC - равносторонний, то, очевидно, что все его медианы равны друг другу. Так как угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусам, то AE = BO = CP = a*sqrt(3)/2, где a = AB = AC = BC - длина стороны равностороннего треугольника.
4
Медиану треугольника можно найти и по другим данным. Например, если заданы длины двух сторон, к одной из которых проведена медиана, например, длины сторон AB и BC, а также угол x между ними. Тогда длину медианы можно найти через теорему косинусов: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).
Источники:
  • Медианы и биссектрисы треугольника
  • как находить длину медианы

Совет 5: Как найти длину медианы в треугольнике

Медиана треугольника - это отрезок, проведенный из любой его вершины к противоположной стороне, при этом он делит ее на части равной длины. Максимальное число медиан в треугольнике - три, по количеству вершин и сторон.
Инструкция
1
Задача 1.
В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Найдите ее длину, если известно, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.
2
Решение.
Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, поскольку все длины сторон известны:
BE = √((2*AB^2 + 2*BD^2 - AD^2)/4) = √((200 + 50 - 64)/4) = √(46,5) ≈ 6,8 (см).
3
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Найдите длину медианы DH, если известно, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.
4
Решение.
Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD или BD. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников, предположим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5.
Найдите сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника - BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(√3/2) ≈ 5,8.
5
Теперь возможны два варианта нахождения медианы: по формуле, использованной в первой задаче или по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BDH: DH^2 = BD^2 - BH^2.
DH^2 = (5,8)^2 - 25 ≈ 8,6 (см).
6
Задача 3.
В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Найдите их длины, если известно, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.
7
Решение.
Для нахождения медиан необходимы длины всех сторон. Длину BA можно найти из условия: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Рассмотрите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы BD:
BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = √(9 + 16) = √25 = 5.
8
Аналогично найдите гипотенузу прямоугольного треугольника KDA:
AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,2.
9
По формуле выражения через стороны найдите медианы:
BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 - AD^2)/4 = (50 + 162 - 51,8)/4 ≈ 40, отсюда BE ≈ 6,3 (см).
DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 - BA^2)/4 = (50 + 103,7 - 81)/4 ≈ 18,2, отсюда DH ≈ 4,3 (см).
AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 - BD^2)/4 = (103,7 + 162 - 25)/4 ≈ 60, отсюда AF ≈ 7,8 (см).
Источники:
  • формула медианы
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше