Совет 1: Как проверить функцию на четность и нечетность

Большую часть школьной программы математики занимает исследование функций, в частности, проверка на четность и нечетность. Этот метод является важной составляющей процесса изучения характера поведения функции и построения ее графика.
Инструкция
1
Свойства четности и нечетности функции определяется исходя из влияния знака аргумента на ее значение. Это влияние отображается на графике функции в определенной симметрии. Иными словами, выполняется свойство четности, если f(-x) = f(x), т.е. знак аргумента не влияет на значение функции, и нечетности, если справедливо равенство f(-x) = -f(x).
2
Нечетная функция графически выглядит симметричной относительно точки пересечения координатных осей, четная – относительно оси ординат. Примером четной функции может служить парабола x², нечетной – f = x³.
3
Пример № 1Исследовать на четность функцию x²/(4·x² - 1).Решение:Подставьте в данную функцию –x вместо x. Вы увидите, что знак функции не изменится, поскольку аргумент в обоих случаях присутствует в четной степени, которая нейтрализует отрицательный знак. Следовательно, исследуемая функция является четной.
4
Пример № 2Проверить функцию на четность и нечетность: f = -x² + 5·x.Решение:Как и в предыдущем примере, подставьте –x вместо x: f(-x) = -x² – 5·x. Очевидно, что f(x) ≠ f(-x) и f(-x) ≠ -f(x), следовательно, функция не обладает свойствами ни четности, ни нечетности. Такая функция называется индифферентной или функцией общего вида.
5
Исследовать функцию на четность и нечетность можно также наглядным образом при построении графика или нахождении области определения функции. В первом примере областью определения является множество x ∈ (-∞; 1/2) ∪ (1/2; +∞). График функции симметричен относительно оси Oy, значит, функция четная.
6
В курсе математики сначала изучают свойства элементарных функций, а затем полученные знания переносят на исследование более сложных функций. Элементарными являются степенные функции с целым показателем, показательные вида a^x при a>0, логарифмические и тригонометрические функции.

Совет 2: Как исследовать функцию

Исследованием функции называют специальное задание в школьном курсе математики, в ходе которого выявляются основные параметры функции и строится ее график. Ранее целью данного исследования было построение графика, сегодня же эта задача решается с помощью специализированных компьютерных программ. Но все же не лишним будет ознакомиться с общей схемой исследования функции.
Инструкция
1
Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.
2
Определяются области непрерывности и точки разрыва. При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции, необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.
3
Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих промежутков.
4
Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения верно равенство f(-x) = f(x).
5
Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее положительное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.
6
Функция проверяется на монотонность, находятся точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, найденные при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в которых производная не определена. Знаки производной на получившихся промежутках определяют области монотонности, а точки перехода между разными областями являются экстремумами функции.
7
Исследуется выпуклость функции, находятся точки перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.
8
Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.
9
Определяются пределы на концах области определения.
10
Строится график функции.
11
По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.

Совет 3: Как определить чётную функцию

Чётные и нечётные функции – это числовые функции, области определения которых (и в первом, и во втором случае) симметричны относительно системы координат. Как же определить, какая из двух представленных числовых функций является чётной?
Вам понадобится
  • лист бумаги, функция, ручка
Инструкция
1
Для того чтобы определить чётную функцию, прежде всего запомните её определение. Функцию f (x) можно назвать чётной, если для любого значения х (икс) из области определения выполняются оба равенства: а) -x € D;
б) f (-x) = f (x).
2
Запомните, что если при противоположных значениях x (икс) значения y (игрек) равны, то исследуемая функция является чётной.
3
Рассмотрите пример чётной функции. Y = x?. В этом случае при значении x = -3, y = 9, и при противоположном значении x = 3 y = 9. Обратите внимание, данный пример доказывает, что при противоположных значениях x (икс) (3 и -3) значения y (игрек) равны.
4
Обратите внимание, что на всей области определения график чётной функции симметричен оси OY, в то время как график нечётной функции на все области определения симметричен относительно начала координат. Простейшим примером чётной функции служат функции y = cos x; y = ?x?; y = x? + ?x?.
5
Если точка (a; b) принадлежит графику чётной функции, то и симметричная ей относительно оси ординат точка
(-a; b) также принадлежит данному графику, из чего следует, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат.
6
Помните, что не каждая функция обязательно является либо чётной, либо нечётной. Некоторые из функций могут быть суммой чётной и нечётной функций (примером может служить функция f (x) = 0).
7
При исследований функции на чётность, запомните и оперируйте следующими утверждениями: а) сумма чётных (нечётных) функций также является чётной (нечётной) функцией; б) произведение двух чётных или нечётных фунций является чётной функцией; в) произведение нечётной и чётной функций является нечётной функцией; г) если функция f чётна (либо нечётна), то и функция 1/f также является чётной (либо нечётной).
8
Функция называется чётной, если при изменении знака аргумента значение функции остаётся неизменным. f (x) = f (-x). Используйте этот простой способ для определения чётности функции: если значение останется неизменным при умножении на -1, то функция – чётная.
Видео по теме

Совет 4: Как определить четность и нечетность

Исследование функции на четность или нечетность - один из шагов общего алгоритма исследования функции, необходимого для построения графика функции и изучения её свойств. В этом шаге необходимо определить, является ли функция четной или нечетной. Если про функцию нельзя сказать, что она является четной или нечетной, то говорят, что это функция общего вида.
Инструкция
1
Запишите функцию в виде зависимости y=y(x). Например, y=x+5.
2
Подставьте вместо аргумента x аргумент (-x) и посмотрите, что получилось в итоге. Сравните с изначальной функцией y(x). Если y(-x)=y(x), имеем четную функцию. Если y(-x)=-y(x), имеем нечетную функцию. Если y(-x) не равняется y(x) и не равняется -y(x), имеем функцию общего вида.
3
Запишите вывод к данному шагу исследования функции. Возможные варианты вывода:y(x) - четная функция,y(x) - нечетная функция,y(x) - функция общего вида.
4
Переходите к следующему шагу исследования функции, используя стандартный алгоритм.

Совет 5: Как исследовать функцию на четность

Исследование функции на четность и нечетность помогает строить график функции и изучать характер ее поведения. Для этого исследования необходимо сравнить данную функцию, записанную для аргумента "х" и для аргумента "-х".
Инструкция
1
Запишите функцию, исследование над которой необходимо провести, в виде y=y(x).
2
Замените аргумент функции на "-х". Подставьте этот аргумент в функциональное выражение.
3
Упростите выражение.
4
Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для аргументов "х" и "-х". Посмотрите на две эти записи.
Если y(-x)=y(x), то это четная функция.
Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.
Если же про функцию нельзя сказать, что y(-x)=y(x) или y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция общего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.
5
Запишите сделанные вами выводы. Теперь вы можете их использовать в построении графика функции или же в дальнейшем аналитическом исследовании свойств функции.
6
Говорить о четности и нечетности функции можно также и в том случае, когда уже задан график функции. Например, график послужил результатом физического эксперимента.
Если график функции симметричен относительно оси ординат, то y(x) - четная функция.
Если график функции симметричен относительно оси абсцисс, то x(y) - четная функция. x(y) - функция, обратная функции y(x).
Если график функции симметричен относительно начала координат (0,0), то y(x) - нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).
7
Важно помнить, что понятие о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, например, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего нельзя сказать про функцию общего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.
8
Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.
Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
Источники:
  • примеры на чётность и нечётность функции
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше