Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Если две прямые не параллельны, то они обязательно пересекутся в одной точке. Найти координаты точки пересечения двух прямых можно как графическим, так и арифметическим способом, в зависимости от того, какие данные предоставляет задача.
Как найти координаты точки пересечения двух прямых
Вам понадобится
  • - две прямые на чертеже;
  • - уравнения двух прямых.
Инструкция
1
Если прямые уже начерчены на графике, найдите решение графическим способом. Для этого продолжите обе или одну из прямых так, чтобы они пересеклись. Затем отметьте точку пересечения и опустите из нее перпендикуляр на ось абсцисс (как правило, ох).
2
При помощи шкалы делений, отмеченных на оси, найдите значение х для этой точки. Если она находится на положительном направлении оси (справа от нулевой отметки), то ее значение будет положительным, в противном случае – отрицательным.
3
Точно также найдите ординату точки пересечения. Если проекция точки расположена выше нулевой отметки – она положительная, если ниже – отрицательная. Запишите координаты точки в виде (х, у) - это и есть решение задачи.
4
Если прямые заданы в виде формул у=kх+b, вы можете также решить задачу графическим способом: начертите прямые на координатной сетке и найдите решение описанным выше способом.
5
Попробуйте найти решение задачи, используя данные формулы. Для этого составьте из этих уравнений систему и решите ее. Если уравнения даны в виде у=kх+b, просто приравняйте обе части с х и найдите х. Затем подставьте значение х в одно из уравнений и найдите у.
6
Можно найти решение способом Крамера. В таком случае приведите уравнения к виду А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Согласно формуле Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Обратите внимание, если знаменатель равен нулю, то прямые параллельны или совпадают и, соответственно, не пересекаются.
7
Если вам даны прямые в пространстве в каноническом виде, перед тем, как начать поиск решения, проверьте, не параллельны ли прямые. Для этого оцените коэффициенты перед t, если они пропорциональны, например, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t и x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5+2t, то прямые параллельны. Кроме того, прямые могут скрещиваться, в этом случае система не будет иметь решения.
8
Если вы выяснили, что прямые пересекаются, найдите точку их пересечения. Сначала приравняйте переменные из разных прямых, условно заменив t на u для первой прямой и на v для второй прямой. Например, если вам даны прямые x=t-1, y=2t+1, z=t+2 и x=t+1, y=t+1, z=2t+8 вы получите выражения типа u-1=v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.
9
Выразите из одного уравнения u, подставьте в другое и найдите v (в данной задаче u=-2,v=-4). Теперь, чтобы найти точку пересечения, подставьте полученные значения вместо t (без разницы, в первое или второе уравнение) и получите координаты точки x=-3, y=-3, z=0.
Ваши деньги должны работать на вас!
вклад на выгодных условиях
Стабильный доход и уверенность в завтрашнем дне - это то, что вы получите, сделав вклад на самых выгодных для себя условиях.
Возможность вернуть до 260 000 рублей
Если вы решили взять ипотеку
Каждый россиянин имеет право вернуть часть уплаченных налогов за покупку жилья.
Карта с большими бонусами
Дебетовая карта
Возвращается до 10% от стоимости покупок. Выгодна при крупных тратах.
Настроить автоплатежи просто
настройка автоплатежей за пару минут
В мобильном приложении Сбербанка все ваши платежи будут происходить в срок и без вашего участия.
Видео по теме
Источники:
  • Нахождение точек пересечения прямых

Совет 2: Как найти координаты пересечения прямых

Для рассмотрения двух пересекающихся прямых достаточно рассмотрения их в плоскости, потому что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых, можно найти координату их точки пересечения.
Как найти координаты пересечения прямых
Вам понадобится
  • уравнения прямых
Инструкция
1
В декартовых координатах общее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пусть две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, второй прямой - Dx+Ey+F = 0. Все коэффициенты (A, B, C, D, E, F) должны быть заданы.
Чтобы найти точку пересечения этих прямых нужно решить систему этих двух линейных уравнений.
2
Для решения первое уравнение удобно умножить на E, а второе - на B. В результате уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. После вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсюда, x = (FB-CE)/(AE-DB).
По аналогии первое уравнение исходной системы можно умножить на D, второе - на A, затем опять из первого вычесть второго. В результате, y = (CD-FA)/(AE-DB).
Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых.
3
Уравнения прямых также могут записываться через угловой коэффициент k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пусть теперь уравнение первой прямой - y = k1*x+b1, а второй прямой - y = k2*x+b2.
4
Если приравнять правые части этих двух уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсюда легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). После подстановки этого значения x в любое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых.
В случае, если две прямые параллельны или сопадают, то они не имеют общих точек или имеют бесконечно много общих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следовательно, система не будет иметь классического решения.
Система может иметь только одно классическое решение, что естественно, так как две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500