Совет 1: Как найти площадь разностороннего треугольника

Разносторонним треугольником называется такой треугольник, длины сторон которого не равны между собой. При этом подразумевается, что не равны также никакие две стороны (иначе треугольник получился бы равнобедренным). Для вычисления площади разностороннего треугольника используется несколько разных формул. Рассмотрены все основные варианты, которые могут встретиться на практике и при решении геометрических задач.
Вам понадобится
  • - калькулятор;
  • - транспортир;
  • - линейка.
Инструкция
1
Чтобы найти площадь треугольника, умножьте длину его стороны на высоту (перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противоположной вершины) и разделите полученное произведение на два. В виде формулы данное правило выглядит следующим образом:

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

Длина стороны и высота должны быть представлены в одинаковых единицах измерения. При этом площадь треугольника получится в соответствующих «квадратных» единицах.
2
Пример.
На одну из сторон разностороннего треугольника длиной 20 см, опущен перпендикуляр из противоположной вершины длиной 10 см.
Требуется определить площадь треугольника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).
3
Если известны длины двух любых сторон разностороннего треугольника и угол между ними, то воспользуйтесь формулой:

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – величина угла между ними.
4
На практике, например, при измерении площади земельных участков, использование вышеприведенных формул иногда бывает затруднительно, так как требует дополнительных построений и измерения углов.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

где:

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.
5
Если кроме длин всех сторон известен радиус вписанной в треугольник окружности, то воспользуйтесь следующей компактной формулой:

S = p * r,

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).
6
Для вычисления площади разностороннего треугольника через радиус описанной окружности и длины его сторон, используйте формулу:

S = abc/4R,

где: R – радиус описанной окружности.
7
Если известна длина одной из сторон треугольника и величины трех углов (в принципе, достаточно двух – величина третьего вычисляется из равенства суммы трех углов треугольника - 180º), то воспользуйтесь формулой:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.

Совет 2: Как определить площадь треугольника

Потребность в нахождении различных элементов, в том числе и площади треугольника, появилась за много веков до нашей эры у ученых астрономов Древней Греции. Площадь треугольника можно вычислить различными способами, используя разные формулы. Способ вычисления зависит от того, какие элементы треугольника известны.
Инструкция
1
Если из условия задачи нам известны значения четырех элементов треугольника, таких как углы ?, ?, ? и стороны a, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = (a^2sin?sin?)/(2sin?).
2
Если из условия нам известны значения двух сторон b, c и угол ими образованный ?, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = (bcsin?)/2.
3
Если из условия нам известны значения двух сторон a, b и не образованный ими угол ?, то площадь треугольника ABC находится следующим образом:
Находим угол ?, sin? = bsin?/a, далее по таблице определяем сам угол.
Находим угол ?, ? = 180°-?-?.
Находим саму площадь S = (absin?)/2.
4
Если из условия нам известны значения только трех сторон треугольника a, b и c, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , где p – полупериметр p = (a+b+c)/2
5
Если из условия задачи нам известны высота треугольника h и сторона к которой опущена эта высота, то площадь треугольника ABC определяется по формуле:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
6
Если нам известны значения сторон треугольника a, b, c и радиус описанной около данного треугольника окружности R, то площадь этого треугольника ABC определяется по формуле:
S = abc/4R.
Если известны три стороны a, b, c и радиус вписанной в треугольник окружности, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = pr, где p – полупериметр, p = (a+b+c)/2.
7
Если треугольник ABC – равносторонний, то площадь находится по формуле:
S = (a^2v3)/4.
Если треугольник ABC – равнобедренный, то площадь определяется по формуле:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, где с – основание треугольника.
Если треугольник ABC – прямоугольный, то площадь определяется по формуле:
S = ab/2, где a и b – катеты треугольника.
Если треугольник ABC – прямоугольный равнобедренный, то площадь определяется по формуле:
S = c^2/4 = a^2/2, где с – гипотенуза и основание треугольника, a=b – катет.
Видео по теме
Источники:
  • как измерить площадь треугольника

Совет 3: Как найти площадь треугольника, если известен угол

Знания лишь одного параметра (величины угла) не достаточно для нахождения площади треугольника. Если же есть какие-либо дополнительные размеры, то для определения площади можно выбрать одну из формул, в которых в качестве одной из известных переменных используется и величина угла. Несколько таких формул, применяемых наиболее часто, приведено ниже.
Инструкция
1
Если кроме величины угла (γ), образованного двумя сторонами треугольника, известны и длины этих сторон (A и B), то площадь (S) фигуры можно определить, как половину от произведения длин известных сторон на синус этого известного угла: S=½×A×B×sin(γ).
2
Если кроме величины одного угла (γ), известна и длина прилегающей к ней стороны (A), а также величина второго угла (β), тоже прилегающего к этой стороне, то площадь (S) треугольника можно вычислить, если найти частное от деления возведенной в квадрат длины единственной известной стороны на удвоенную сумму котангенсов обоих известных углов: S=½×A²/(ctg(γ)+ctg(β)).
3
При тех же исходных данных, когда в треугольнике известны величины двух углов (γ и β) и длина стороны между ними (A), можно рассчитать площадь (S) фигуры и немного по-другому. Для этого потребуется найти произведение возведенной в квадрат длины известной стороны на синусы обоих углов, а полученный результат разделить на удвоенный синус суммы этих углов: S=½×A²×sin(γ)×sin(β)/sin(γ+β).
4
Если известны величины всех трех углов (α, β, γ) в вершинах треугольника, а также длина хотя бы одной из его сторон (A), то площадь (S) можно определить, вычислив дробь, в числителе которой будет произведение возведенной в квадрат длины известной стороны на синусы прилегающих к ней углов, а в знаменателе - удвоенный синус угла, лежащего напротив известной стороны: S=½×A²×sin(γ)×sin(β)/sin(α).
5
Если же величины всех трех углов известны (α, β, γ), а данных о длинах сторон нет, но дан радиус (R) описанной возле треугольника окружности, то этот набор данных тоже позволит вычислить площадь (S) фигуры. Для этого надо удвоить произведение возведенного в квадрат радиуса на синусы всех трех углов: S=2×R²×sin(α)×sin(β)×sin(γ).
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500