Совет 1: Как найти угол между гранями

Школьные геометрические задачи нередко ставят в тупик взрослых, особенно если решать их приходится в реальной жизни. Например, при выполнении ремонтных работ, проектировании мебели, работе с компьютерными программами. Во всех перечисленных случаях может понадобиться найти угол между заданными гранями.
Инструкция
1
Прежде всего, вспомните, что вы знаете о прямой. Прямая – одно из самых главных основных понятий в геометрии. Это расстояние между двумя точками. Задается она на плоскости уравнением Ax + By = C. В данном уравнении А/В равно тангенсу угла наклона прямой, то есть угловому коэффициенту прямой. В задачах часто требуется найти угол между гранями фигуры.
2
Хотим изначально отметить, что для того, чтобы правильно высчитать угол между гранями двух прямых, понадобятся простые знания геометрии. Для этого можно просто взять школьный учебник по геометрии и немного повторить забытый материал, в частности по заданной теме.
3
Допустим, даны две прямые Ax+By=C и Dx+Ey=F. Для того чтобы найти угол между гранями этих прямых, необходимо сделать ряд следующих действий.
4
Выразите коэффициент угла наклона из этих уравнений прямых. Для первой прямой такой коэффициент будет равен A/B, а для второй - соответственно D/E. Чтобы было более наглядно, продемонстрируем на примерах. Так если уравнение прямой 4x+6y=20, соответственно, коэффициент угла будет равен 0,67. Если уравнение второй прямой -3x+5y=3, коэффициент угла наклона будет равен -0,6.
5
Найдите угол наклона каждой из прямых. Для этого необходимо посчитать арктангенс от полученного углового коэффициента. Так если брать на приведенном примере, arctg 0,67 будет равен 34 градуса, а arctg -0,6 - минус 31 градус. Таким образом, одна из прямых имеет положительный угловой коэффициент, а вторая - отрицательный. Угол между данными прямыми будет равняться сумме абсолютных величин этих углов. Если же оба коэффициента отрицательные или оба положительные, угол между гранями находится путем отнимания от большего меньшего.
6
Найдите угол между гранями. В нашем примере угол между гранями будет равен 65 градусов (|34| + |-31| = 34 + 31).
7
Следует знать, что период тригонометрической функции тангенс (tg) равен 180-ти градусам, а следовательно, угол наклона таких прямых по модулю не может превышать данное значение.
8
В случае когда угловые коэффициенты между собой равны, угол между гранями таких прямых будет равен нулю, так как прямые либо будут параллельны друг другу, либо будут совпадать.

Совет 2: Как найти угол между сторонами

Решение задачи по отысканию угла между сторон некоторой геометрической фигуры следует начинать с ответа на вопрос: с какой фигурой вы имеете дело, то есть определиться многогранник перед вами или многоугольник.
В стереометрии рассматривается «плоский случай» (многоугольник). Каждый многоугольник можно разбить на определенное количество треугольников. Соответственно, решение этой задачи можно свести к отысканию угла между сторонами одного из треугольников, составляющих заданную вам фигуру.
Инструкция
1
Для задания каждой из сторон необходимо знать ее длину и еще один определенный параметр, который будет задавать положение треугольника на плоскости. Для этого, как правило, используются направленные отрезки - векторы.
Надо отметить, что на плоскости может быть бесконечно много равных векторов. Главное, чтобы они обладали равной длиной, точнее модулем |a|, а также направлением, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовых координатах это ось 0Х). Поэтому для удобства векторы принято задавать с помощью радиус-векторов r=а, начало которых расположено в точке начала координат.
2
Для решения поставленного вопроса, необходимо определить скалярное произведение векторов а и b (обозначается (a,b)). Если угол между векторами ф, то, по определению, скалярное произведение двух ветров – это число, равное произведению модулей:
(a, b) = |a||b|cos ф (см. рис1).
В декартовых координатах, если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1у2 +х2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 + x2^2. Для вектора b – аналогично. Итак, |a||b|cos ф = x1у2 +х2y1. Следовательно, cos ф=(x1у2 +х2y1)/(|a||b|). Данная формула является алгоритмом решения поставленной задачи в «плоском случае».
Как найти угол между сторонами
3
Пример1. Найти угол между сторонами треугольника, заданными векторами a={3, 5} и b ={-1, 4}.
Исходя из теоретических выкладок, приведенных выше, можно вычислить требуемый угол. cos ф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|)=(-3+20)/(9+25)^1/2(1+16)^1/2=18/6(17)^1/2=6/sqrt(17)=1,4552
Ответ: ф =arccos(1,4552).
4
Теперь следует рассмотреть случай объемной фигуры (многогранника). В данном варианте решения задачи угол меду сторонами воспринимается, как угол между ребрами боковой грани фигуры. Однако, строго говоря, основание так же является гранью многогранника. Тогда решение поставленной задачи сводится к рассмотрению первого «плоского случая». Но векторы будут задаваться уже тремя координатами.
Часто без внимания остается вариант задачи, когда стороны вообще не пересекаются, то есть лежат на скрещивающихся прямых. В данном случае понятие угла между ними также определено. При векторном задании отрезков прямых, способ определения угла меду ними един - скалярное произведение.
5
Пример 2. Найти угол ф между сторонами произвольного многогранника, заданными векторами a={3, -5, -2} и b ={3, -4, 6}. Как только что выяснено, тот угол определятся его косинусом, причем
cos ф=(x1х2 +у1y2+z1z2)/(|a||b|)=(9+20-12)/(3^2+5^2+2^2)^1/2(3^2+4^2+6^2)^1/2=7/sqrt(29)•sqrt(61)=7/sqrt(1769)=0,1664
Ответ: ф=arccos(0,1664)
Видео по теме
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500