Совет 1: Как вычислить косинус угла

Косинус - одна из тригонометрических функций, которая применяется в решении геометрических и физических задач. Действия с векторами также редко обходятся без использования косинуса. Есть несколько способов вычисления косинуса угла от простейших арифметических действий до разложения в ряд Тейлора. Выбор способа зависит от необходимой точности значения косинуса.
Инструкция
1
Любому школьнику известны таблицы Брадиса. Он произвел множество кропотливых расчетов, но избавил математиков от трудоемкого подсчета значений основных тригонометрических функций для большого количества углов. До широкого распространения калькуляторов и вычислительных машин эти таблицы использовались практически всеми инженерами, математиками, физиками и студентами.
2
Вычислить косинус угла по таблице очень легко. Достаточно найти в столбце значений углов градусы угла, а затем идти по строке таблицы до пересечения с минутами угла. На рисунке показан фрагмент таблицы Брадиса. Видно, что значение косинуса для угла 72°30' составляет 0,3007. По таблицам Брадиса можно узнать значения функций с точностью до 0,0001, для большинства вычислений такая точность является вполне достаточной.
3
Изначально тригонометрические функции были связаны с прямоугольным треугольником и соотношением его сторон. Можно вспомнить об этом и применить известные соотношения, если угол является острым. Постройте прямоугольный треугольник с заданным углом. Для этого проведите два луча и опустите из какой-либо на одном из них перпендикуляр к другому. Теперь, если обозначить точки пересечения лучей буквами A, B и С, можно утверждать, что cos ∠BAC = CA/AB или отношению прилежащего к нему катета AC к гипотенузе AB. Точность этого метода невысока и сильно зависит от точности построений.
4
Для большей точности вычислений тригонометрические функции раскладывают в ряды Тейлора. Ряд Тейлора для косинуса смотрите на рисунке. Разложение в ряд позволяет вычислить косинус с любой точностью. Чем выше точность, тем больше членов ряда придется найти. Брадис в своих таблицах раскладывал косинус в ряд и находил первые несколько членов. Современные калькуляторы делают то же самое.
5
Попробуйте вручную вычислить значение косинуса для 72°30'. Для этого сначала переведите угол в радианы: 72°30' = 72,5°*π рад/180° = 1,2654 рад (заметьте, что значение числа π надо брать тоже достаточно точным, в данной формуле использовано π≈3,1416). Теперь подставьте это значение в ряд и вычислите несколько первых членов ряда: 1 - 1,2654^2/2 + 1,2654^4/24 - 1,2654^6/720 + 1,2654^8/40320 = 1 - 0,8006 + 0,1068 - 0,0057 + 0,0002 = 0,3006, где 720 = 6!, 40320 = 8!.
Таким образом, cos 72°30' = cos 1,2654 рад ≈ 0,3006.

Совет 2: Как вычислить косинус

Косинусом называют тригонометрическую функцию угла. Она определяется геометрически при помощи единичной окружности или как результат соотношения сторон прямоугольного треугольника. Вычислить косинус можно также через другие тригонометрические функции, при помощи калькулятора или таблиц Брадиса.
Вам понадобится
  • - калькулятор;
  • - таблицы Брадиса;
  • - понятие теоремы Пифагора;
  • - тригонометрические тождества;
  • - линейка.
Инструкция
1
Измерьте или посчитайте угол, косинус которого нужно вычислить. Переключите инженерный калькулятор на вычисления в градусах, наберите это значение на его экране и нажатием кнопки вычислите косинус. Если такого калькулятора нет, найдите значение угла в соответствующем разделе таблиц Брадиса и найдите его косинус.
2
Вычислите косинус угла, который представляет собой поворот радиуса окружности с центром в начале координат относительно оси абсцисс. Для этого найдите абсциссу точки пересечения радиуса, ограничивающего угол с окружностью, которая и будет равна косинусу данного угла. Если окружность не единичная, поделите полученную абсциссу на значение радиуса.
3
Найдите значение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Определите, какие из его сторон являются катетами (угол между ними равен 90˚). Третья сторона будет гипотенузой. Чтобы найти косинус острого угла, измерьте длину прилежащего к нему катета и длину гипотенузы, используя для этого линейку, или найдите неизвестную сторону по двум известным, используя теорему Пифагора. Косинус острого угла будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Например, если длина прилежащего катета равна 5 см, а длина гипотенузы составляет 10 см, то косинус этого угла равен 5/10=0,5. Это косинус угла 60º.
4
Определите косинус угла по его значениям для других тригонометрический функций. Если известен синус угла α то его косинус посчитайте, отняв от числа 1 квадрат синуса, а из полученного результата извлеките квадратный корень cos(α)=√(1-sin²(α)). Например, если синус угла равен 0,6, то используя известную формулу, получите cos(α)=√(1-0,6²)=√(1-0,36)= √0,64=0,8.
5
Вычислите косинус при известном тангенсе угла. Для этого число 1 поделите на сумму 1 и квадрата тангенса, а из полученного результата извлеките квадратный корень: cos(α)=√(1/(1+tg²(α))). Например, если тангенс угла равен 1, то его косинус cos(α)=√(1/(1+1²))=1/√2.
Видео по теме
Обратите внимание
Во всех расчетах учитывайте, что значение косинуса угла должно находиться в промежутке от -1 до 1. Если результат не входит в него, расчет неверен.
Видео по теме
Источники:
  • Таблица Брадиса. Синусы и косинусы
  • косинусы углов
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500