Совет 1: Как определить расстояние от точки до прямой

Для определения расстояния от точки до прямой необходимо знать уравнения прямой и координаты точки в декартовой системе координат. Расстоянием от точки до прямой будет являться перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой.
Вам понадобится
  • координаты точки и уравнение прямой
Инструкция
1
Общее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид Ax+By+C=0, где A, B и C - известные числа. Пусть точка O имеет координаты (x1, y1) в декартовой системе координат.В этом случае отклонение этой точки от прямой равно ?=(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)), если C<0, и ?=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.Расстояние от точки до прямой - это модуль отклонения точки от прямой, то есть r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2))|, если C<0, и ?=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.
2
Пусть теперь точка с координатами (x1, y1, z1) задана в трехмерном пространстве. Прямая может быть задана параметрически, системой из трех уравнений: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, где t - действительное число. Расстояние от точки до прямой можно найти как минимальное от этой точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки равен tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^2))
3
Расстояние от точки (x1, y1) до прямой можно посчитать и в случае, если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом: y = kx+b. Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой будет иметь вид: y = (-1/k)x+a. Далее нужно учесть, что эта прямая должна проходить через точку (x1, y1). Отсюда находится число a. После преобразований находится и расстояние между точкой и прямой.

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости.
Вам понадобится
  • уравнение плоскости
Инструкция
1
В трехмерном пространстве можно определить декартову систему координат с осями X,Y и Z. Тогда у любой точки в этом пространстве всегда будут определены координаты x, y и z. Пусть задана точка с координатами x0, y0, z0.
Уравнение плоскости выглядит так: ax+by+cz+d = 0.
2
Расстояние от заданной точки до заданной точки, то есть длина перпендикуляра, находится по формуле: r = |ax0+by0+cz0+d|/sqrt((a^2)+(b^2)+(c^2)). Справедливость этой формулы можно доказать с помощью параметрических уравнений прямой, либо с помощью скалярного произведения векторов.
3
Существует также понятие отклонения точки от плоскости. Плоскость можно задать нормированным уравнением: x*cos?+y*cos?+z*cos?-p = 0, где p - расстояние от плоскости до начала координат. В нормированном уравнении заданы направляющие косинусы вектора N = (a, b, c), перпендикулярному плоскости, где a, b, c - константы, определяющие уравнение плоскости.
Отклонение точки M с координататами x0, y0 и z0 от плоскости, заданной нормированным уравнением, записывается в виде: ? = x0*cos?+y0*cos?+z0*cos?-p. ?>0, если точка M и начало координат лежат по разные стороны плоскости, иначе ?<0.
Расстояние от точки до плоскости равно r = |?|.
Видео по теме
Источники:
  • Расстояние от точки до плоскости

Совет 3: Как определить расстояние от точки до плоскости, заданной следами

Одна из достаточно распространенных задач, встречающихся в начальных курсах высшей математики ВУЗ-ов, состоит в определении расстояния от произвольной точки до некоторой плоскости. Как правило, плоскость задается уравнением в том или ином виде. Но существуют и другие методы определения плоскостей. Например, следами.
Вам понадобится
  • - данные следов плоскости;
  • - координаты точки.
Инструкция
1
Если в начальные условия не содержат координаты точек, являющихся местами пересечения плоскости с осями системы координат (следы могут задаваться подобным образом), определите их. Если следы определены парами произвольных точек, принадлежащих плоскостям ХY, ХZ, YZ, составьте уравнения прямых (в данных плоскостях), содержащих соответствующие отрезки. Решив уравнения, найдите координаты пересечений следов с осями. Пусть это будут точки А(Х1, Y1, Z1), В(Х2, Y2, Z2), С(Х3, Y3, Z3).
2
Приступите к нахождению уравнения плоскости, заданной исходными следами. Составьте определитель вида:
(Х-Х1) (Y-Y1) (Z-Z1)
(Х2-Х1) (Y2-Y1) (Z2 - Z1)
(Х3-Х1) (Y3-Y1) (Z3 - Z1)
Здесь Х1, Х2, Х3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3 - значения координат точек А, В, С, найденные на предыдущем шаге, Х, Y и Z - переменные, фигурирующие в результирующем уравнении. Обратите внимание на то, что элементы двух нижних строк матрицы в итоге будут содержать константные значения.
3
Вычислите определитель. Приравняйте к нулю полученное выражение. Это и будет уравнение плоскости. Обратите внимание на то, что определитель вида
(n11) (n12) (n13)
(n21) (n22) (n23)
(n31) (n32) (n33)
можно вычислить как: n11*(n22*n33 - n23*n32) + n12*(n21*n33 - n23*n31) + n13*(n21*n32 - n22*n31). Поскольку величины n21, n22, n23, n31, n32, n33 - константы, а в первой строке содержатся переменные Х, Y, Z, результирующее уравнение будет иметь вид: АХ + ВY + СZ + D = 0.
4
Определите расстояние от точки до плоскости, заданной исходными следами. Пусть координатами этой точки будут значения Хm, Ym, Zm. Имея данные величины, а также коэффициенты А, В, С и свободный член уравнения D, полученного на предыдущем шаге, используйте формулу вида: P = |АХm + ВYm + СZm + D| / √(А²+В²+С²) для вычисления результирующего расстояния.
Видео по теме
Совет полезен?
Вы можете взять любые три известных точки, не лежащих на одной прямой и принадлежащих плоскости, для нахождения ее уравнения. Так, можно выбрать две любые точки на одном и одну точку на другом следе (всего достаточно двух следов).

Совет 4: Как определить высоту труднодоступной точки

При производстве геодезических и изыскательских работ, а также при ориентировании на местности иногда приходится определять высоту точек, недоступных для прямого измерения. Этими точками могут быть верхушки деревьев, высокая скала или опора линии электропередач. Для решения такой задачи применяются как специальные приборы (например, нивелиры), так и простые подручные средства.
Вам понадобится
  • - нивелир;
  • - палка или шест;
  • - равнобедренный треугольник;
  • - карманное зеркальце.
Инструкция
1
Используйте для определения высоты труднодоступной точки нивелир. Он представляет собой геодезический инструмент для измерения превышения точек на поверхности. Существует несколько видов нивелиров, но наибольшее распространение получили оптико-механические устройства. Для начала ознакомьтесь с инструкцией по применению прибора.
2
Установите прибор на штативе. Визирную линию зрительной трубы нивелира выставьте горизонтально при помощи встроенного уровня. Расположите нивелирную рейку вертикально. Наведите трубу на рейку посредством визира и отфокусируйте изображение рейки соответствующим регулировочным винтом. Произведите отсчет высоты объекта по рейке, используя в качестве отсчетного индекса горизонтальную нить сетки.
3
При отсутствии необходимого оборудования используйте для определения высоты подручные средства – удочку, палку или шест известной длины. В солнечный день определите высоту объекта (например, высокого дерева), руководствуясь таким правилом: высота предмета во столько же раз больше размеров предмета с известной высотой, во сколько раз тень измеряемого объекта больше тени от палки.
4
Поставьте палку строго вертикально. Измерьте длину ее тени. Измерьте длину тени предмета, высоту которого хотите узнать. Составьте и решите пропорцию, взяв в качестве искомого неизвестного элемента высоту измеряемого предмета.
5
Для применения следующего способа вам понадобится ученический равнобедренный треугольник. Приближаясь к объекту измерения, установите треугольник у глаза, чтобы один его катет был направлен отвесно, а гипотенуза совпала с линией визирования на точку, высоту которой вы хотите узнать. Сложите расстояние до объекта и высоту от поверхности земли до ваших глаз; вы получите высоту, на которой расположена искомая точка.
6
Измерить высоту дерева можно иным способом. Если недалеко от измеряемого объекта находится обычная лужа, встаньте так, чтобы она располагалась между вами и предметом. Теперь при помощи карманного зеркальца отыщите в воде отражение вершины дерева. Высота верхней точки будет во столько же раз больше вашего роста, во сколько раз расстояние от вас до лужи больше, чем расстояние от лужи до наблюдателя. Для измерений используйте известную длину своего шага (у человека среднего роста она равна 0,7-0,8 метра).
Источники:
  • Определение высоты предметов
  • Нивелирование
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500