Совет 1: Как найти расстояние от точки до прямой

В школьных задачах по геометрии часто встречается задание найти расстояние от точки до прямой. Многие школьники, столкнувшись с такой задачей, впадают в ступор и не знают, что им делать, с чего начать решение задачи. Важно помнить, что расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра.
Как найти расстояние от точки до прямой
Инструкция
1
Для того, чтобы найти расстояние от точки до прямой, вам необходим перпендикуляр от этой точки до заданной прямой.
2
Посмотрите на чертеж, который вы нарисовали по условию задачи.
3
Если требуемый перпендикуляр от точки до прямой уже присутствует на чертеже (например, в условии сказано, что это перпендикуляр, высота, задан угол в 90 градусов), найдите его длину. Вам могут быть заданы длины других сторон, величины углов, свойства фигуры. Используйте теоремы геометрии.
4
Если вы видите, что требуемый перпендикуляр присутствует, но про него не известно, что это перпендикуляр, докажите, что он является именно перпендикуляром. Затем найдите его длину.
5
Если требуемого перпендикуляра еще нет, постройте его. Будьте внимательны и аккуратны при построении, помните о свойствах перпендикуляра. Построив перпендикуляр, подумайте, как можно найти его длину. Найдите длину перпендикуляра.
Видео по теме
Обратите внимание
Не путайте высоту с медианой и биссектрисой. В общем случае эти прямые не совпадают.
Полезный совет
В некоторых случаях построение перпендикуляра не требуется. Иногда найти высоту фигуры можно, исходя из свойств фигуры и применив формулу нахождения площади. Это в том случае, если расстоянием от точки до прямой является именно высота фигуры.
Источники:
  • как найти расстояние от точки до сторон

Совет 2 : Как найти расстояние между прямыми на плоскости

Прямая на плоскости однозначно задается двумя точками этой плоскости. Под расстояниями между двумя прямыми понимают длину кратчайшего отрезка между ними, то есть длину их общего перпендикуляра. Кратчайший совместный перпендикуляр для двух заданных прямых является постоянной величиной. Таким образом, чтобы ответить на вопрос поставленной задачи, надо иметь в виду, что отыскивается расстояние между двумя заданными параллельными прямыми находится на заданной плоскости. Казалось бы, что нет ничего проще: взять произвольную точку на первой прямой и опустить из нее перпендикуляр на вторую. Циркулем и линейкой сделать это элементарно. Однако это всего лишь иллюстрация предстоящего решения, которое подразумевает точное вычисление длины такого совместного перпендикуляра.
Как найти расстояние между прямыми на плоскости
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага.
Инструкция
1
Для решения поставленной задачи необходимо использовать методы аналитической геометрии, прикрепив плоскость и прямые к системе координат, что позволит не только точно рассчитать необходимое расстояние, но и уйти от поясняющих иллюстраций.
Основные уравнения прямой на плоскости имеют следующий вид.
1. Уравнение прямой, как графика линейной функции: y=kx+b.
2. Общее уравнение: Ax+By+D=0 (здесь n={A,B} – вектор нормали к этой прямой).
3. Каноническое уравнение: (x-x0)/m = (y-y0)/n.
Здесь (x0, yo) – любая точка, лежащая на прямой; {m, n}=s – координаты ее направляющего вектора s.
Очевидно, что если идет поиск перпендикулярной прямой, заданной общим уравнением, то s=n.
2
Пусть первая из параллельных прямых f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует взять произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.
3
Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
4
Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными прямыми N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.
5
Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), можно получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра находится в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.
Источники:
  • Развитие легкой атлетики в России

Совет 3 : Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве

В аналитической геометрии положение множества точек, принадлежащих прямой линии в пространстве, описывается уравнением. Для любой точки пространства относительно этой линии можно определить параметр, который называется отклонением. Если он равен нулю, значит, точка лежит на линии, а любое другое значение отклонения, взятое по модулю, определяет кратчайшее расстояние между прямой и точкой. Рассчитать его можно, если известно уравнение линии и координаты точки.
Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве
Инструкция
1
Для решения задачи в общем виде обозначьте координаты точки как A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты ближайшей к ней точки на рассматриваемой прямой - как A₀(X₀;Y₀;Z₀), а уравнение прямой запишите в таком виде: a*X + b*Y + c*Z - d = 0. Вам нужно определить длину отрезка A₁A₀, который лежит на линии, перпендикулярной по отношению к описываемой уравнением. Перпендикулярный («нормальный») направляющий вектор ā = {a;b;c} поможет составить канонические уравнения проходящей через точки A₁ и A₀ прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
2
Запишите канонические уравнения в параметрической форме (X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁) и найдите значение параметра t₀, при котором исходная и перпендикулярная к ней прямые пересекаются. Для этого подставьте параметрические выражения в уравнение исходной прямой: a*(a*t₀+X₁) + b*(b*t₀+Y₁) + c*(c*t₀+Z₁) - d = 0. Затем выразите из равенства параметр t₀: t₀ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²).
3
Подставьте полученное на предыдущем шаге значение t₀ в определяющие координаты точки A₁ параметрические уравнения: X₀ = a*t₀+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁, Y₀ = b*t₀+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁ и Z₀ = c*t₀+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁. Теперь у вас есть координаты двух точек, осталось рассчитать определяемое ими расстояние (L).
4
Для получения численного значения расстояния между точкой с известными координатами и прямой, задаваемой известным уравнением, рассчитайте численные значения координат точки A₀(X₀;Y₀;Z₀) по формулам из предыдущего шага и подставьте значения в эту формулу:
L = (a*(X₁ - X₀) + b*(Y₁ - Y₀) + c*(Z₁ - Z₀)) / (a² + b² + c²)

Если же и результат надо получить в общем виде, он будет описываться довольно громоздким уравнением. Замените величины проекций точки A₀ на три координатные оси равенствами из предыдущего шага и упростите насколько возможно полученное равенство:
L = (a*(X₁ - X₀) + b*(Y₁ - Y₀) + c*(Z₁ - Z₀)) / (a² + b² + c²) = (a*(X₁ - a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁) + b*(Y₁ - b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁) + c*(Z₁ - c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁)) / (a² + b² + c²) = (a*(2*X₁ - a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²))) + b*(2*Y₁ - b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²))) + c*(2*Z₁ - c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)))) / (a² + b² + c²) = (2*a*X₁ - a²*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + 2*b*Y₁ - b²*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + 2*c*Z₁ - c²*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²))) / (a² + b² + c²)
5
Если значение имеет только численный результат, а ход решения задачи не важен, воспользуйтесь онлайн-калькулятором, который предназначен именно для расчета расстояния между точкой и прямой в ортогональной системе координат трехмерного пространства - http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_line. Здесь вы можете поместить в соответствующие поля координаты точки, ввести уравнение прямой в параметрическом или каноническом виде, а затем получить ответ, щелкнув по кнопке «Найти расстояние от точки до прямой».
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500