Инструкция
1
В отличие от других типов уравнений, например, квадратных или систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, или точнее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгоритма. В каждом конкретном случае необходимо подобрать наиболее подходящий метод решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.
Возведение частей уравнения в одинаковую степень.
Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут появиться «лишние» корни. Поэтому, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Особое внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области допустимых значений переменной (ОДЗ). Иногда одной только оценки ОДЗ достаточно для решения или существенного «упрощения» уравнения.
Пример. Решить уравнение:
√(5х-16)=х-2
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√(5х-16))²=(х-2)², откуда последовательно получаем:
5х-16=х²-4х+4
х²-4х+4-5х+16=0
х²-9х+20=0
Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:
х=(9±√(81-4*1*20))/(2*1)
х=(9±1)/2
х1=4, х2=5
Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство. Следовательно оба числа являются решениями уравнения.
Возведение частей уравнения в одинаковую степень.
Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут появиться «лишние» корни. Поэтому, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Особое внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области допустимых значений переменной (ОДЗ). Иногда одной только оценки ОДЗ достаточно для решения или существенного «упрощения» уравнения.
Пример. Решить уравнение:
√(5х-16)=х-2
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√(5х-16))²=(х-2)², откуда последовательно получаем:
5х-16=х²-4х+4
х²-4х+4-5х+16=0
х²-9х+20=0
Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:
х=(9±√(81-4*1*20))/(2*1)
х=(9±1)/2
х1=4, х2=5
Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство. Следовательно оба числа являются решениями уравнения.
2
Метод введения новой переменной.
Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.
Пример. Решить уравнение: 2х+√х-3=0
Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Однако, сами вычисления при этом будут выглядеть довольно-таки громоздко. При введении новой переменной процесс решения получится намного элегантнее:
Введем новую переменную: у=√х
После чего получаем обыкновенное квадратное уравнение:
2у²+у-3=0, с переменной у.
Решив полученное уравнение, находим два корня:
у1=1 и у2=-3/2,
подставляя найденные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:
√х=1 и √х=-3/2.
Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем единственное решение:
х=1.
Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.
Пример. Решить уравнение: 2х+√х-3=0
Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Однако, сами вычисления при этом будут выглядеть довольно-таки громоздко. При введении новой переменной процесс решения получится намного элегантнее:
Введем новую переменную: у=√х
После чего получаем обыкновенное квадратное уравнение:
2у²+у-3=0, с переменной у.
Решив полученное уравнение, находим два корня:
у1=1 и у2=-3/2,
подставляя найденные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:
√х=1 и √х=-3/2.
Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем единственное решение:
х=1.
Видео по теме
Источники:
- решение квадратных корней
