Как решать матрицу по Гауссу

Метод Гаусса является одним из основных принципов решения системы линейных уравнений. Его преимущество заключается в том, что оно не требует квадратичности исходной матрицы или же предварительного расчете ее определителя.

Вам понадобится

• Учебник по высшей математике.

Инструкция

1. Итак у вас есть система линейных алгебраических уравнений. Данный метод состоит из двух основных ходов - прямого и обратного.
   
2. Прямой ход:Запишите систему в матричном виде.Составьте расширенную матрицу и приведите ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Стоит напомнить, что матрица имеет ступенчатый вид, если выполняются следующие два условия: Если какая-то строка матрицы нулевая, то все последующие строки тоже являются нулевыми; Опорный элемент каждой последующий строки находится правее, чем в предыдущей.Элементарным преобразованием строк называют действия следующих трех типов:
   1) перестановка местами любых двух строк матрицы.
   2) замена любой строки суммой этой строки с любой другой, предварительно умноженной на некоторое число.
   3) умножение любой строки на отличное от нуля число.Определите ранг расширенной матрицы и сделайте вывод о совместности системы. Если ранг матрица А не совпадает с рангом расширенной матрицы, то система не совместна и соответственно не имеет решения. Если же ранги не совпадают, то система совместна, и продолжайте поиск решений.
   
3. Обратный ход:Объявите базисными неизвестными те, номера которых совпадут с номерами базисных столбцов матрицы А (ее ступенчатого вида), а остальные переменные будете считать свободными. Число свободных неизвестных вычисляем по формуле k=n-r(A), где n-число неизвестных, r(A)-ранг матрица А.Далее вернитесь к ступенчатой матрице. Приведите ее к виду Гаусса. Напомним, что ступенчатая матрица имеет вид Гаусса, если все опорные элементы ее равны единице, а над опорными элементами одни нули. Запишите систему алгебраических уравнений, которая соответствует матрице вида Гаусса, обозначив свободные неизвестные как C1,...,Ck.На следующем шаге выразите из полученной системы базисные неизвестные через свободные.
4. Запишите ответ в векторном или покоординатном виде.