Совет 1: Как определить центр тяжести сечения

В обыденном смысле центр тяжести воспринимают как точку, к которой можно приложить равнодействующую всех сил, действующих на тело. Самый простой пример - это детские качели в виде обычной доски. Без всяких вычислений любой ребенок подберет опору доски так, чтобы уравновесить (а может, и перевесить) на качелях тяжелого мужчину. В случае сложных тел и сечений без точных расчетов и соответствующих формул не обойтись. Даже если получаются громоздкие выражения, главное - не пугаться их, а помнить, что исходно речь идет о практически элементарной задаче.
Инструкция
1
Рассмотрите простейший рычаг (см. рис 1), находящийся в положении равновесия. Расположите точку опоры на горизонтальной оси с абсциссой х₁₂ и поместите на краях материальные точки масс m₁ и m₂. Считайте их координаты по оси 0х известными и равными х₁ и х₂. Рычаг находится в положении равновесия, если моменты сил веса Р₁=m₁g и P₂=m₂g равны. Момент равен произведению силы на ее плечо, которое можно найти как длину перпендикуляра опущенного из точки приложения силы на вертикаль х=х₁₂. Поэтому, в соответствии с рисунком 1, m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Тогда m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Решите это уравнение и получите х₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).
Как определить центр тяжести сечения
2
Для выяснения ординаты центра тяжести y₁₂ примените те же самые рассуждения и выкладки, как и на шаге 1. По-прежнему следуйте иллюстрации, приведенной на рисунке 1, где m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Тогда m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Результат - у₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Далее считайте, что вместо системы из двух точек имеется одна точка М₁₂(x12,у12) общей массы (m₁+m₂).
3
К системе из двух точек добавьте еще одну массу (m₃) с координатами (х₃, у₃). При вычислении следует по-прежнему считать, что имеете дело с двумя точками, где вторая из них имеет массу (m₁+m₂) и координаты (x12,у12). Повторяя уже для этих двух точек все действия шагов 1 и 2, придете к координатам центра тяжести системы трех точек x₁₂₃=(m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), у₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m₃y₃)/(m₁+m₂+m₃). Далее добавляйте четвертую, пятую и так далее точки. После многократного повторения все той же процедуры убедитесь, что для системы n точек координаты центра тяжести вычисляются по формуле (см. рис. 2). Отметьте для себя тот факт, что в процессе работы ускорение свободного падения g сокращалось. Поэтому координаты центра масс и тяжести совпадают.
Как определить центр тяжести сечения
4
Представьте себе, что в рассматриваемом сечении расположена некоторая область D, поверхностная плотность которой ρ=1. Сверху и снизу фигура ограничена графиками кривых у=φ(х) и у=ψ(х), х є [а,b]. Разбейте область D вертикалями x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) на тонкие полоски, такие, что их можно приблизительно считать прямоугольниками с основаниями ∆хi (см. рис. 3). При этом середину отрезка ∆хi считайте положите совпадающим с абсциссой центра масс ξi=(1/2)[xi+x(i-1)]. Высоту прямоугольника считайте приблизительно равной [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Тогда ордината центра масс элементарной площади ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].
Как определить центр тяжести сечения
5
В силу равномерного распределения плотности считайте, что центр масс полоски совпадет с ее геометрическим центром. Соответствующая элементарная масса ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi сосредоточена в точке (ξi,ηi). Наступил момент обратного перехода от массы, представленной в дискретной форме, к непрерывной. В соответствии с формулами вычисления координат (см. рис. 2) центра тяжести образуются интегральные суммы, проиллюстрированные на рисунке 4а. При предельном переходе при ∆xi→0 (ξi→xi) от сумм к определенным интегралам, получите окончательный ответ (рис. 4b). В ответе масса отсутствует. Равенство S=M следует понимать лишь как количественное. Размерности здесь отличны друг от друга.
Как определить центр тяжести сечения

Совет 2: Как определить координаты центра тяжести

В однородном гравитационном поле центр тяжести совпадает с центром масс. В геометрии понятия «центр тяжести» и «центр масс» также эквивалентны, поскольку существование гравитационного поля не рассматривается. Центр масс называется еще центром инерции и барицентром (от греч. barus − тяжелый, kentron − центр). Он характеризует движение тела или системы частиц. Так, при свободном падении тело вращается вокруг своего центра инерции.
Инструкция
1
Пусть система состоит из двух одинаковых точек. Тогда центр тяжести, очевидно, располагается посередине между ними. Если точки с координатами x1 и x2 имеют разные массы m1 и m2, то координата центра масс x(c)=(m1·x1+m2·x2)/(m1+m2). В зависимости от выбранного «нуля» системы отсчета, координаты могут быть и отрицательными.
2
Точки на плоскости имеют две координаты: x и y. При задании в пространстве добавляется еще третья координата z. Чтобы не расписывать каждую координату в отдельности, удобно рассматривать радиус-вектор точки: r=x·i+y·j+z·k, где i,j,k − орты координатных осей.
3
Пусть теперь система состоит из трех точек с массами m1, m2 и m3. Их радиус-векторы, соответственно, r1, r2 и r3. Тогда радиус-вектор их центра тяжести r(c)=(m1·r1+m2·r2+m3·r3)/(m1+m2+m3).
4
Если система состоит из произвольного числа точек, тогда радиус-вектор, по определению, находится по формуле:
r(c)=∑m(i)·r(i)/∑m(i). Суммирование производится по индексу i (записывается снизу от знака суммы ∑). Здесь m(i) − масса некоторого i-го элемента системы, r(i) − его радиус-вектор.
5
Если тело однородно по массе, сумма переходит в интеграл. Разбейте мысленно тело на бесконечно маленькие кусочки массой dm. Поскольку тело однородно, массу каждого кусочка можно записать как dm=ρ·dV, где dV − элементарный объем этого кусочка, ρ − плотность (одинакова по всему объему однородного тела).
6
Интегральное суммирование массы всех кусочков даст массу всего тела: ∑m(i)=∫dm=M. Итак, получается r(c)=1/M·∫ρ·dV·dr. Плотность, постоянную величину, можно вынести из-под знака интеграла: r(c)=ρ/M·∫dV·dr. Для непосредственного интегрирования понадобится установить конкретную функцию между dV и dr, которая зависит от параметров фигуры.
7
К примеру, центр тяжести отрезка (длинного однородного стержня) находится посередине. Центр масс сферы и шара располагается в центре. Барицентр конуса находится на четверти высоты осевого отрезка, считая от основания.
8
Барицентр некоторых простых фигур на плоскости легко определить геометрически. Например, для плоского треугольника это будет точка пересечения медиан. Для параллелограмма − точка пересечения диагоналей.
9
Центр тяжести фигуры можно определить и опытным путем. Вырежьте из листа плотной бумаги или картона любую фигуру (например, тот же треугольник). Попробуйте установить ее на кончике вертикально вытянутого пальца. То место на фигуре, для которого получится это сделать, и будет являться центром инерции тела.
Источники:
  • «Механика», Д.В. Сивухин, 2006.
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1., М.: 1978, 456 с., ил.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500