Совет 1: Как решать систему методом крамера

Решение системы линейных уравнений второго порядка можно найти методом Крамера. Данный метод основан на вычислении определителей матриц заданной системы. Поочередно вычисляя главный и вспомогательные детерминанты, можно заранее сказать, имеет ли система решение или она является несовместной. При нахождении вспомогательных определителей, элементы матрицы поочередно заменяются ее свободными членами. Решение системы находится простым делением найденных детерминантов.
Инструкция
1
Запишите заданную систему уравнений. Составьте ее матрицу. При этом первый коэффициент первого уравнения соответствует начальному элементу первой строки матрицы. Коэффициенты из второго уравнения составляют вторую строку матрицы. Свободные члены записываются в отдельный столбец. Заполните таким образом все строки и столбцы матрицы.
Как решать <em>систему</em> <strong>методом</strong> крамера
2
Вычислите главный определитель матрицы. Для этого найдите произведения элементов, расположенных по диагоналям матрицы. Сначала умножьте все элементы первой диагонали, расположенной от левого верхнего до нижнего правого элемента матрицы. Потом вычислите так же вторую диагональ. От первого произведения отнимите второе. Результат вычитания и будет главным определителем системы. Если главный детерминант не равен нулю, значит система имеет решение.
Как решать <em>систему</em> <strong>методом</strong> крамера
3
Затем найдите вспомогательные определители матрицы. Сначала вычислите первый вспомогательный определитель. Для этого замените первый столбец матрицы столбцом свободных членов решаемой системы уравнения. После этого определите детерминант полученной матрицы по аналогичному алгоритму, как описано выше.
Как решать <em>систему</em> <strong>методом</strong> крамера
4
Подставьте вместо элементов второго столбца исходной матрицы свободные члены. Вычислите второй вспомогательный определитель. Всего количество данных детерминантов должно быть равно числу неизвестных переменных в системе уравнений. Если все полученные детерминанты системы равны нулю, считается, что система имеет множество неопределяемых решений. Если нулю равен лишь главный определитель – система несовместима и корней у нее нет.
Как решать <em>систему</em> <strong>методом</strong> крамера
5
Найдите решение системы линейных уравнений. Первый корень вычисляется, как частное от деления первого вспомогательного определителя на главный детерминант. Запишите выражение и посчитайте его результат. Второе решение системы вычислите так же, поделив второй вспомогательный определитель на главный детерминант. Запишите полученные результаты.
Как решать <em>систему</em> <strong>методом</strong> крамера

Совет 2: Как решать по формуле Крамера

Метод Крамера представляет собой алгоритм, позволяющий решить систему линейных уравнений при помощи матрицы. Автор метода – Габриэль Крамер, живший в первой половине XVIII века.
Инструкция
1
Пусть задана некоторая система линейных уравнений. Ее необходимо записать в матричном виде. В основную матрицу пойдут коэффициенты перед переменными. Для записи дополнительных матриц нужны будут и свободные члены, располагающиеся обычно справа от знака равенства.
2
У каждой из переменных должен быть свой «порядковый номер». К примеру, во всех уравнениях системы на первом месте стоит x1, на втором – x2, на третьем – x3 и т.д. Тогда каждой из этих переменных будет соответствовать свой столбец в матрице.
3
Для применения метода Крамера необходимо, чтобы получившаяся матрица была квадратной. Этому условию соответствует равенство числа неизвестных и количества уравнений в системе.
4
Найдите детерминант основной матрицы Δ. Он должен быть ненулевым: лишь в этом случае решение системы будет единственным и однозначно определенным.
5
Чтобы записать дополнительный детерминант Δ(i), замените i-й столбец столбцом свободных членов. Число дополнительных определителей будет равняться числу переменных в системе. Вычислите все определители.
6
Из полученных определителей осталось лишь найти значение неизвестных. В общем виде, формула для нахождения переменных выглядит так: x(i) = Δ(i)/Δ.
7
Пример. Система, состоящая из трех линейных уравнений, содержащая три неизвестные x1, x2 и x3, имеет вид:a11•x1 + a12•x2 + a13•x3 = b1,a21•x1 + a22•x2 + a23•x3 = b2,a31•x1 + a32•x2 + a33•x3 = b3.
8
Из коэффициентов перед неизвестными запишите основной детерминант:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
9
Вычислите его:Δ = a11•a22•a33 + a31•a12•a23 + a13•a21•a32 – a13•a22•a31 – a11•a32•a23 – a33•a12•a21.
10
Заменив первый столбец свободными членами, составьте первый дополнительный определитель:b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
11
Аналогичную процедуру проведите со вторым и третьим столбцами:a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
12
Вычислите дополнительные детерминанты:Δ(1) = b1•a22•a33 + b3•a12•a23 + a13•b2•a32 – a13•a22•b3 – b1•a32•a23 – a33•a12•b2.Δ(2) = a11•b2•a33 + a31•b1•a23 + a13•a21•b3 – a13•b2•a31 – a11•b3•a23 – a33•b1•a21.Δ(3) = a11•a22•b3 + a31•a12•b2 + b1•a21•a32 – b1•a22•a31 – a11•a32•b2 – b3•a12•a21.
13
Найдите неизвестные, запишите ответ:x1 = Δ(1)/Δ, x2 = Δ(2)/Δ, x3 = Δ(3)/Δ.
Видео по теме
Совет полезен?
Формулу для вычисления определителей второго и третьего порядка запомнить легко. Определители более высоких порядков можно рассчитывать методом Гаусса.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500