Совет 1: Как найти присоединенную матрицу

Найти присоединенную матрицу можно только для квадратной исходной матрицы, поскольку метод расчета подразумевает предварительное транспонирование. Это одна из операций в матричной алгебре, итогом которой является замена столбцов соответствующими строками. Кроме того, необходимо определить алгебраические дополнения.
Инструкция
1
Основой матричной алгебры являются операции над матрицами и поиск их основных характеристик. Чтобы найти присоединенную матрицу необходимо выполнить транспонирование и сформировать на основе ее результата новую матрицу из соответствующих алгебраических дополнений.
2
Транспонирование квадратной матрицы – это запись ее элементов в другом порядке. Первый столбец меняется на первую строку, второй – на вторую и т.д. в общем виде это выглядит так (см. рисунок).
Как найти присоединенную матрицу
3
Второй этап нахождения присоединенной матрицы – поиск алгебраических дополнений. Эти числовые характеристики матричных элементов получаются путем вычисления миноров. Те, в свою очередь, являются определителями исходной матрицы порядка, меньшего на 1, и получаются вычеркиванием соответствующих строк и столбцов. Например, M11 = (a22•a33 – a23•a32). Алгебраическое дополнение отличается от минора коэффициентом, равным (-1) в степени суммы номеров элемента: A11 = (-1)^(1+1)• (a22•a33 – a23•a32).
4
Рассмотрите пример: найдите присоединенную матрицу к данной. Для удобства возьмем третий порядок. Это позволит быстрее понять алгоритм, не прибегая к тяжелым вычислениям, ведь для расчета определителей матрицы третьего порядка достаточно всего четырех элементов.
Как найти присоединенную матрицу
5
Проведите транспонирование заданной матрицы. Здесь требуется поменять местами первую строку на первый столбец, вторую – на второй и третью – на третий.
Как найти присоединенную матрицу
6
Запишите выражения для поиска алгебраических дополнений, всего их будет 9 по количеству элементов матрицы. Будьте внимательны со знаком, лучше воздержаться от расчетов в уме и расписать все подробно.
Как найти присоединенную матрицу
7
A11 = (-1)²•(2 -24) = -22;
A12 = (-1)³•(1+ 18) = -19;
A13 = (-1)^4•(4 + 6) = 10;
A21 = (-1)³•(9 + 4) = -13;
A22 = (-1)^4•(5 - 3) = 2;
A23 = (-1)^5•(20 + 27);
A31 = (-1)^4•(54 + 2) = 56;
A32 = (-1)^5•(30 + 1) = -31;
A33 = (-1)^6•(10 - 9) = 1.
8
Составьте итоговую присоединенную матрицу из получившихся алгебраических дополнений.
Как найти присоединенную матрицу

Совет 2: Как найти алгебраические дополнения матрицы

Алгебраические дополнения – это одно из понятий матричной алгебры, применяемое к элементам матрицы. Нахождение алгебраических дополнений является одним из действий алгоритма определения обратной матрицы, а также операции матричного деления.
Инструкция
1
Матричная алгебра является не только важнейшим разделом высшей математики, но и совокупностью методов решения различных прикладных задач путем составления линейных систем уравнений. Матрицы применяются в экономической теории и в построении математических моделей, например, в линейном программировании.
2
Линейная алгебра описывает и изучает множество операций над матрицами, включая суммирование, умножение и деление. Последнее действие условно, она фактически является умножением на матрицу, обратную ко второй. Тут-то и проходят на помощь алгебраические дополнения элементов матрицы.
3
Понятие алгебраического дополнения напрямую вытекает из двух других фундаментальных определений матричной теории. Это определитель и минор. Определителем квадратной матрицы называется число, которое получается по следующей формуле исходя из значений элементов:∆ = a11•a22 – a12•a21.
4
Минор матрицы – это ее определитель, порядок которого на единицу меньше. Минор какого-либо элемента получается путем удаления из матрицы строки и столбца, соответствующих номерам позиции элемента. Т.е. минор матрицы M13 будет равнозначен определителю, полученному после вычеркивания первой строки и третьего столбца:M13 = a21•a32 – a22•a31.
5
Чтобы найти алгебраические дополнения матрицы, необходимо определить соответствующие миноры ее элементов с определенным знаком. Знак зависит от того, в какой позиции стоит элемент. Если сумма номеров строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение будет положительным числом, если нечетное – отрицательным. Т.е.:Aij = (-1)^(i+j)•Mij.
6
Пример.Вычислите алгебраические дополнения.
7
Решение:A11 = 12 - 2 = 10;A12 = -(27 + 12) = -39;A13 = 9 + 24 =33;A21 = -(0 - 8) = 8;A22 = 15 + 48 = 63;A23 = -(5 - 0) = -5;A31 = 0 - 32 = -32;A32 = -(10 - 72) = 62;A33 = 20 - 0 = 20.
Видео по теме
Источники:
  • матрица алгебраических дополнений

Совет 3: Как найти расширенную матрицу

Матрицей называют таблицу, состоящую из определенных значений и имеющую размерность в n столбцов и m строк. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большого порядка может решаться с помощью связанных с ней матриц - матрицы системы и расширенной матрицы. Первая представляет собой массив А коэффициентов системы, стоящих при неизвестных переменных. При добавлении к данному массиву столбца-матрицы В свободных членов СЛАУ получается расширенная матрица (А|В). Построение расширенной матрицы является одним из этапов в решении произвольной системы уравнений.
Инструкция
1
В общем виде систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом подстановки, но для СЛАУ большой размерности такое вычисление весьма трудоемко. И чаще в этом случае используют связанные матрицы, в том числе и расширенную.
2
Запишите заданную систему линейных уравнений. Проведите ее преобразование, упорядочив множители в уравнениях таким образом, чтобы одинаковые неизвестные переменные располагались в системе строго друг под другом. Свободные коэффициенты без неизвестных перенесите в другую часть уравнений. При перестановке слагаемых и переносе учитывайте их знак.
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
3
Определите матрицу системы. Для этого отдельно выпишите коэффициенты, стоящие при искомых переменных СЛАУ. Выписывать нужно в том порядке, как они расположены в системе, т.е. из первого уравнения первый коэффициент поставьте на пересечении первой строки и первого столбца матрицы. Порядок строк новой матрицы соответствует порядку уравнений системы. Если одна из неизвестных системы в данном уравнении отсутствует, значит, ее коэффициент здесь равен нулю – внесите ноль в матрицу на соответствующую позицию строки. Получаемая матрица системы должна быть квадратной (m=n).
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
4
Найдите расширенную матрицу системы. Свободные коэффициенты в уравнениях системы за знаком равенства выпишите в отдельный столбец, сохраняя тот же порядок строк. В квадратной матрице системы справа от всех коэффициентов поставьте вертикальную черту. За чертой допишите полученный столбец свободных членов. Это и будет расширенная матрица исходной СЛАУ размерностью (m, n+1), где m – число строк, n – число столбцов.
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
Обратите внимание
Именно по расширенной матрице согласно методу Гаусса вычисляются корни системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса является одним из наиболее активно используемых способов решения СЛАУ большого порядка.
Источники:
  • расширенная матрица системы
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500