Инструкция
1
Решение любой математической задачи может быть разделено на конечное число действий. Чтобы быстро решить уравнение, нужно правильно определить его вид, а затем подобрать соответствующее рациональное решение из оптимального количества шагов.
2
Практические применения математических формул и правил подразумевают теоретические знания. Уравнения – это довольно широкая в рамках школьной дисциплины тема. По этой причине в самом начале ее изучения нужно выучить некоторый набор основ. К ним относятся виды уравнений, их степени и подходящие методы решения.
3
Ученики средней школы, как правило, решают примеры на использование одной переменной. Самым простым видом уравнения с одной неизвестной является линейное уравнение. Например, х - 1 = 0, 3•х = 54. В этом случае нужно просто перенести аргумент х в одну сторону равенства, а числа – в другую, используя различные математические действия:
х – 1 = 0 |+1; х = 1;
3•х = 54 |:3; х = 18.
4
Не всегда линейное уравнение можно выявить сразу. Пример (х + 5)² – х² = 7 + 4•х тоже относится к этому виду, однако выяснить это можно лишь после раскрытия скобок:
(х + 5)² – х² = 7 + 4•х
х² + 10•х + 25 – х² = 7 + 4•х → 6•х = 18 → х = 3.
5
В связи с описанной трудностью при определении степени уравнения не следует опираться на наибольший показатель степени выражения. Сначала упростите его. Старшая вторая степень является признаком квадратного уравнения, которое, в свою очередь, бывает неполным и приведенным. Каждый подвид подразумевает свой оптимальный метод решения.
6
Неполное уравнение – это равенство вида х² = C, где C – число. В этом случае нужно просто извлечь квадратный корень из этого числа. Только не забудьте про второй отрицательный корень х = -√C. Рассмотрите несколько примеров уравнения, приводимого к неполному квадратному:
• Замена переменной:
(х + 3)² - 4 = 0
[z = х + 3] → z² - 4 = 0; z = ±2 → х1 = 5; х2 = 1.
• Упрощение выражения:
6•х + (х - 3)² – 13 = 0
6•х + х² – 6•х + 9 – 13 = 0
х² = 4
х = ± 2.
7
В общем виде квадратное уравнение выглядит так: A•х² + B•х + C = 0, а метод его решения основывается на расчете дискриминанта. При B = 0 получается неполное уравнение, а при A = 1 – приведенное. Очевидно, что в первом случае дискриминант искать не имеет смысла, к тому же это не способствует увеличению скорости решения. Во втором случае также существует альтернативный способ, который называется теоремой Виета. Согласно ей сумма и произведение корней приведенного уравнения связаны со значениями коэффициента при первой степени и свободного члена:
х² + 4•х + 3 = 0
х1 + х2 = -4; х1•х2 = 3 – соотношения Виета.
х1 = -1; х2 = 3 – по методу подбора.
8
Помните, что при условии целочисленного деления коэффициентов уравнения В и С на А, приведенное уравнение можно получить из исходного. Иначе решайте через дискриминант:
16•х² – 6•х - 1 = 0
D = B² – 4•A•C = 36 + 64 = 100
х1 = (6 + 10)/32 = 1/2; х2 = (6 - 10)/32 = -1/8.
9
Уравнения высших степеней, начиная от кубического A•х³ + B•х² + C•х + D = 0, решаются различными способами. Один из них – подбор целых делителей свободного члена D. Затем исходный многочлен делится на двучлен вида (х + х0), где х0 – подобранный корень, и степень уравнения снижается на единицу. Точно так же можно решать уравнение четвертой степени и выше.
10
Рассмотрите пример с предварительным приведением к общему виду:
х³ + (х - 1)² + 3•х – 4 = 0
х³ + х² + х – 3 = 0
11
Возможные корни: ±1 и ±3. Подставьте их поочередно и посмотрите, получится ли равенство:
1 – да;
-1 – нет;
3 – нет;
-3 – нет.
12
Итак, вы нашли первое решение. После деления на двучлен (х - 1) получается квадратное уравнение х² + 2•х + 3 = 0. Теорема Виета не дает результатов, следовательно, вычислите дискриминант:
D = 4 – 12 = -8 < 0.
13
Школьники средних классов могут заключить, что корень у кубического уравнения всего один. Однако старшие ученики, изучающие комплексные числа, легко определят оставшиеся два решения:
х = -1 ± √2•i, где i² = -1.