Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не являются параллельными. Это понятие пространственной геометрии. Поставленная задача решается методами аналитической геометрии путем нахождения расстояния между прямыми. При этом вычисляется длина взаимного для двух прямых перпендикуляра.

Инструкция

1. Приступая к решению этой задачи, следует убедиться, что прямые действительно скрещивающиеся. Для этого используйте следующие сведения. Две прямые в пространстве могут быть параллельными (тогда их можно разместить в одной плоскости), пересекающимися (лежат в одной плоскости) и скрещивающимися (не лежат в одной плоскости).
2. Пусть прямые L1 и L2 заданы параметрическими уравнениями (см. рис. 1а). Здесь τ – параметр в системе уравнений прямой L2. Если прямые пересекаются, то у них есть одна точка пересечения, координаты которой достигаются в системах уравнений рисунка 1а при определенных значениях параметров t и τ. Таким образом, если система уравнений (см. рис. 1b) относительно неизвестных t и τ имеет решение, причем единственное, то прямые L1 и L2 пересекаются. Если эта система не имеет решения, то прямые являются скрещивающимися или параллельными. Тогда для принятия решения сравните направляющие векторы прямых s1={m1,n1, p1} и s2={m2, n2 ,p2} Если прямые скрещивающиеся, то эти векторы не коллинеарные и их координаты {m1,n1, p1} и {m2, n2 ,p2} не могут быть пропорциональными.
   
3. После проверки приступайте к решению задачи. Ее иллюстрация – рисунок 2. Требуется найти расстояние d между скрещивающимися прямыми. Разместите прямые в параллельных плоскостях β и α. Тогда искомое расстояние равно длине общего перпендикуляра к этим плоскостям. Нормаль N к плоскостям β и α имеет направление этого перпендикуляра. Возьмите на каждой прямой по точке M1 и М2. Расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора M2M1 на направление N. Для направляющих векторов прямых L1 и L2 при этом справедливо, что s1||β, а s2||α. Поэтому вектор N ищете как векторное произведение [s1, s2]. Теперь вспомните правила нахождения векторного произведения и вычисления длины проекции в координатной форме и можете приступать к решению конкретных задач. При этом придерживайтесь следующего плана.
   
4. Условие задачи начинается заданием уравнений прямых. Как правило, это канонические уравнения (если нет – приведите их к каноническому виду). L1: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1; L2: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2=(z-z2)/p2. Возьмите М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и найдите вектор M2M1={x1-x2, y1-y2, z1-z2}. Запишите векторы s1={m1, n1, p1}, s2={m2, n2, p2}. Нормаль N найдите как векторное произведение s1 и s2, N=[s1, s2]. Получив N={A, B,C}, искомое расстояние d найдите как абсолютную величину проекции вектора M2M1 на направление N.d=|Пр(N) M2M1=(A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2))/√(A^2+B^2+C^2).