Совет 1: Как проверить функцию на четность и нечетность

Большую часть школьной программы математики занимает исследование функций, в частности, проверка на четность и нечетность. Этот метод является важной составляющей процесса изучения характера поведения функции и построения ее графика.
Инструкция
1
Свойства четности и нечетности функции определяется исходя из влияния знака аргумента на ее значение. Это влияние отображается на графике функции в определенной симметрии. Иными словами, выполняется свойство четности, если f(-x) = f(x), т.е. знак аргумента не влияет на значение функции, и нечетности, если справедливо равенство f(-x) = -f(x).
2
Нечетная функция графически выглядит симметричной относительно точки пересечения координатных осей, четная – относительно оси ординат. Примером четной функции может служить парабола x², нечетной – f = x³.
3
Пример № 1Исследовать на четность функцию x²/(4·x² - 1).Решение:Подставьте в данную функцию –x вместо x. Вы увидите, что знак функции не изменится, поскольку аргумент в обоих случаях присутствует в четной степени, которая нейтрализует отрицательный знак. Следовательно, исследуемая функция является четной.
4
Пример № 2Проверить функцию на четность и нечетность: f = -x² + 5·x.Решение:Как и в предыдущем примере, подставьте –x вместо x: f(-x) = -x² – 5·x. Очевидно, что f(x) ≠ f(-x) и f(-x) ≠ -f(x), следовательно, функция не обладает свойствами ни четности, ни нечетности. Такая функция называется индифферентной или функцией общего вида.
5
Исследовать функцию на четность и нечетность можно также наглядным образом при построении графика или нахождении области определения функции. В первом примере областью определения является множество x ∈ (-∞; 1/2) ∪ (1/2; +∞). График функции симметричен относительно оси Oy, значит, функция четная.
6
В курсе математики сначала изучают свойства элементарных функций, а затем полученные знания переносят на исследование более сложных функций. Элементарными являются степенные функции с целым показателем, показательные вида a^x при a>0, логарифмические и тригонометрические функции.

Совет 2: Как исследовать функцию

Исследованием функции называют специальное задание в школьном курсе математики, в ходе которого выявляются основные параметры функции и строится ее график. Ранее целью данного исследования было построение графика, сегодня же эта задача решается с помощью специализированных компьютерных программ. Но все же не лишним будет ознакомиться с общей схемой исследования функции.
Инструкция
1
Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.
2
Определяются области непрерывности и точки разрыва. При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции, необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.
3
Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих промежутков.
4
Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения верно равенство f(-x) = f(x).
5
Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее положительное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.
6
Функция проверяется на монотонность, находятся точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, найденные при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в которых производная не определена. Знаки производной на получившихся промежутках определяют области монотонности, а точки перехода между разными областями являются экстремумами функции.
7
Исследуется выпуклость функции, находятся точки перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.
8
Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.
9
Определяются пределы на концах области определения.
10
Строится график функции.
11
По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.
Источники:
  • примеры на чётность и нечётность функции
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500