Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Если две прямые не параллельны, то они обязательно пересекутся в одной точке. Найти координаты точки пересечения двух прямых можно как графическим, так и арифметическим способом, в зависимости от того, какие данные предоставляет задача.
Вам понадобится
  • - две прямые на чертеже;
  • - уравнения двух прямых.
Инструкция
1
Если прямые уже начерчены на графике, найдите решение графическим способом. Для этого продолжите обе или одну из прямых так, чтобы они пересеклись. Затем отметьте точку пересечения и опустите из нее перпендикуляр на ось абсцисс (как правило, ох).
2
При помощи шкалы делений, отмеченных на оси, найдите значение х для этой точки. Если она находится на положительном направлении оси (справа от нулевой отметки), то ее значение будет положительным, в противном случае – отрицательным.
3
Точно также найдите ординату точки пересечения. Если проекция точки расположена выше нулевой отметки – она положительная, если ниже – отрицательная. Запишите координаты точки в виде (х, у) - это и есть решение задачи.
4
Если прямые заданы в виде формул у=kх+b, вы можете также решить задачу графическим способом: начертите прямые на координатной сетке и найдите решение описанным выше способом.
5
Попробуйте найти решение задачи, используя данные формулы. Для этого составьте из этих уравнений систему и решите ее. Если уравнения даны в виде у=kх+b, просто приравняйте обе части с х и найдите х. Затем подставьте значение х в одно из уравнений и найдите у.
6
Можно найти решение способом Крамера. В таком случае приведите уравнения к виду А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Согласно формуле Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Обратите внимание, если знаменатель равен нулю, то прямые параллельны или совпадают и, соответственно, не пересекаются.
7
Если вам даны прямые в пространстве в каноническом виде, перед тем, как начать поиск решения, проверьте, не параллельны ли прямые. Для этого оцените коэффициенты перед t, если они пропорциональны, например, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t и x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5+2t, то прямые параллельны. Кроме того, прямые могут скрещиваться, в этом случае система не будет иметь решения.
8
Если вы выяснили, что прямые пересекаются, найдите точку их пересечения. Сначала приравняйте переменные из разных прямых, условно заменив t на u для первой прямой и на v для второй прямой. Например, если вам даны прямые x=t-1, y=2t+1, z=t+2 и x=t+1, y=t+1, z=2t+8 вы получите выражения типа u-1=v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.
9
Выразите из одного уравнения u, подставьте в другое и найдите v (в данной задаче u=-2,v=-4). Теперь, чтобы найти точку пересечения, подставьте полученные значения вместо t (без разницы, в первое или второе уравнение) и получите координаты точки x=-3, y=-3, z=0.

Совет 2: Как найти координаты пересечения прямых

Для рассмотрения двух пересекающихся прямых достаточно рассмотрения их в плоскости, потому что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых, можно найти координату их точки пересечения.
Вам понадобится
  • уравнения прямых
Инструкция
1
В декартовых координатах общее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пусть две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, второй прямой - Dx+Ey+F = 0. Все коэффициенты (A, B, C, D, E, F) должны быть заданы.
Чтобы найти точку пересечения этих прямых нужно решить систему этих двух линейных уравнений.
2
Для решения первое уравнение удобно умножить на E, а второе - на B. В результате уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. После вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсюда, x = (FB-CE)/(AE-DB).
По аналогии первое уравнение исходной системы можно умножить на D, второе - на A, затем опять из первого вычесть второго. В результате, y = (CD-FA)/(AE-DB).
Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых.
3
Уравнения прямых также могут записываться через угловой коэффициент k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пусть теперь уравнение первой прямой - y = k1*x+b1, а второй прямой - y = k2*x+b2.
4
Если приравнять правые части этих двух уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсюда легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). После подстановки этого значения x в любое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых.
В случае, если две прямые параллельны или сопадают, то они не имеют общих точек или имеют бесконечно много общих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следовательно, система не будет иметь классического решения.
Система может иметь только одно классическое решение, что естественно, так как две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500