Имеет ли функция частные производные

Частные производные в высшей математике используются для решения задач с функциями нескольких переменных, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции. Чтобы узнать, имеет ли функция частные производные, нужно продифференцировать функцию по одному аргументу, считая другие ее аргументы постоянными, и выполнить аналогичное дифференцирование по каждому аргументу.

Основные положения частных производных

Частной производной по x функции g = f(x,y) в точке C(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке C к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.

Также это можно показать следующим образом: если одному из аргументов функции g = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δyg=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции g по аргументу у; Δxg=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции g по аргументу x.

Правила нахождения частной производной для f(x,y) точно такие же, как и для функции с одной переменной. Только в момент определения производной одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования постоянным числом – константой.

Частные производные для функции двух переменных g (x,y) записываются в следующем виде gx′, gy′​ и находятся по следующим формулам:

Для частных производных первого порядка:

gx′=∂g∂x,

gy′=∂g∂y.

Для частных производных второго порядка:

gxx′′=∂2g∂x∂x,

gyy′′=∂2g∂y∂y​.

Для смешанных частных производных:

gxy′′=∂2g∂x∂y,

gyx′′=∂2g∂y∂x.

Так как частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано, то вычисление ее происходит по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной. Поэтому для частных производных справедливы все основные правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.

Частными производными 2-го порядка функции g=f(x1,x2,...,xn) называются частные производные от ее же частных производных первого порядка.

Примеры решений частных производных

Пример 1

Найти частные производные 1-го порядка от функции g(x,y)=x2−y2+4xy+10

Решение

Для нахождения частной производной по x будем считать y постоянной величиной:

gy′=(x2−y2+4xy+10)′=2х−0+4у+0=2х+4у.

Для нахождения частной производной функции по y определим х константой:

gy′=(x2−y2+4xy+10)′=−2y+4x.

Ответ: частные производные gx′​=2x+4y; gy′​=−2y+4x.

Пример 2.

Найти  частные производные 1-го и 2-го порядков от заданной функции:

z=x5+y5−7x3y3.

Решение.

Частные производные 1-го порядка:

z′x=(x5+y5−7x3y3)′x=7x4−15x2y3;

z′y=(x5+y5−7x3y3)′y=7y4−15x3y2.

Частные производные 2-го порядка:

z′xx=(7x4−15x2y3)′x=28x3−30xy3;

z′xy=(7x4−15x2y3)′y=−45x2y2;

z′yy=(7y4−15x3y2)′y=28y3−30x3y;

z′yx=(7y4−15x3y2)′x=−45x2y2.