Совет 1: Как вносить под знак корня

При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно выполнить как с целыми числами, так и с дробями.
Вам понадобится
  • - выражение, в котором необходимо внести множитель под корень;
  • - калькулятор;
  • - свойства корней;
  • - правила приведения корней к общему показателю степени;
  • - свойства простых дробей;
  • - правила умножения десятичных дробей.
Инструкция
1
Обратите внимание на показатель корня. У квадратного корня над знаком радикала не стоит никакой цифры, у всех остальных она есть. Рассмотрите выражение, в котором вам нужно внести множитель под корень. Его всегда можно представить в виде a√x или a*b*√x. Под знак радикала можно внести как один из сомножителей, так и оба, и их произведение.
2
Вспомните свойства натуральных чисел. Любое натуральное число можно возвести в любую степень. То есть его можно представить в виде корня из квадрата, куба и т. д. Соответственно, для введения его под знак радикала необходимо возвести его в степень, соответствующую показателю корня. Вспомните, как выполняется это действие. Число просто умножается само на себя количество раз, соответствующее показателю степени. Например, чтобы преобразовать выражение 5√2, необходимо число 5 возвести в квадрат. Получается 5√2=√25*2=√50.
3
Для того, чтобы внести под знак радикала дробь, вспомните правила умножения простых и десятичных дробей. В первом случае перемножаются числители и знаменатели. Десятичные дроби умножаются точно так же, как и целые числа. Запятой справа отделяется количество разрядов, соответствующее их общему количеству у обоих сомножителей. То есть для того, чтобы внести под знак квадратного корня выражение a/b, необходимо возвести в квадрат и числитель, и знаменатель. Получается a/b=√a2/b2.
4
Для упрощения вычислений может понадобиться и противоположное действие, то есть выведение одного из сомножителей из-под знака радикала. Для этого подкоренное выражение необходимо разложить на простые множители и посмотреть, какой из этих простых множителей повторяется и сколько раз. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 75, необходимо это число представить в виде 75=5*5*3. То есть 75=5√3.
5
Будьте внимательны при действиях с конями разной степени. Может возникнуть необходимость не только ввести какие-то сомножители под знак радикала, но и привести корни к общему показателю. Порядок действий может быть разным, но удобнее сначала ввести сомножитель под корень, а уже потом умножать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на одно и то же число.

Совет 2: Как внести множитель под корень

Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x. Множителем называется умножаемое число. То есть, в выражении вида x*ª√y нужно внести x под корень.
Инструкция
1
Определите степень корня. Она обычно обозначается надстрочной цифрой перед ним. Если степень корня не указана, то корень квадратный, его степень - два.
2
Внесите множитель под корень, возведя его в степень корня. То есть x*ª√y = ª√(y*xª).
3
Рассмотрите пример 5*√2. Корень квадратный, поэтому возведите число 5 в квадрат, то есть во вторую степень. Получится √(2*5²). Упростите подкоренное выражение. √(2*5²) = √(2*25) = √50.
4
Изучите пример 2*³√(7+x). В данном случае корень третьей степени, поэтому возведите множитель, находящийся вне корня, в 3 степень. Получится ³√((7+x)*2³) = ³√((7+x)*8).
5
Рассмотрите пример (2/9)*√(7+x), где нужно внести под корень дробь. Алгоритм действий почти не отличается. Возведите в степень числитель и знаменатель дроби. Получится √((7+x)*(2²/9²)). Упростите подкоренное выражение, если это необходимо.
6
Решите ещё один пример, в котором у множителя уже есть степень. В y²*√(x³) множитель, вносимый под корень, возведен в квадрат. При возведении в новую степень и внесении под корень степени просто перемножаются. То есть, после внесения под квадратный корень, y² будет иметь четвертую степень.
7
Рассмотрите пример, в котором степень является дробью, то есть множитель также находится под корнем. Найдите в примере √(y³)*³√(x) степени x и y. Степень x равна 1/3, то есть корень третьей степени, а вносимый под корень множитель y имеет степень 3/2, то есть он в кубе и под квадратным корнем.
8
Приведите корни к одной степени, чтобы соединить подкоренные выражения. Для этого приведите дроби степеней к единому знаменателю. Умножьте числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, которое позволит добиться этого.
9
Найдите общий знаменатель для дробей степеней. Для 1/3 и 3/2 это будет 6. Умножьте обе части первой дроби на два, а второй на три. То есть (1*2)/(3*2) и (3*3)/(2*3). Получится, соответственно, 2/6 и 9/6. Таким образом, x и y будут находиться под общим корнем шестой степени, x во второй, а y в девятой степени.
Источники:
  • Как внести число под корень
  • внесение множителя под корень

Совет 3: Как вносить множитель под знак корня

Внести множитель под знак корня или вынести его оттуда – это достаточно распространенная операция, которую часто приходится выполнять для решения самых разных задач.
Инструкция
1
Чтобы внести множитель под знак корня, вам нужно будет возвести его в такую же степень, как у показателя радикала. Например, у квадратного корня показатель радикала равен двум, у корня четвертой степени – четырем, у кубического корня – трем, и так далее. Любое число или выражение может быть возведено в степень. Сколько бы ни было множителей, каждый из них можно внести под знак корня.
2
Возведите множитель в степень. Этот процесс можно представить как произведение, в котором все множители одинаковы и равны исходному числу, а их количество такое же, как и показатель степени. Например, если вы возводите 10 в 3 степень, чтобы внести под знак кубического корня, то это то же самое, что и 10*10*10, то есть множитель 10 повторяется 3 раза. Результат – в данном примере это 1000 – можно спокойно помещать под зрачок кубического радикала.
3
Если вы хотите вынести из под знака корня множитель, то выполните обратное действие: извлеките корень из числа. Вы можете воспользоваться калькулятором, если степень корня небольшая, или разложить число на простые множители, если предполагается, что нужно сделать именно это.
4
Чтобы разложить число на простые множители, разделите его сначала на 2, если это возможно сделать нацело (то есть, в результате должно получиться целое). Если да, сделайте это. Затем посмотрите, можно ли результат снова разделить на 2. Все множители не забывайте записывать. Делите на 2 до тех пор, пока это не перестанет быть возможным, то есть, пока результат не перестанет быть целым.
5
Далее попытайтесь нацело разделить число на 3, пока это не перестанет быть возможным. После 3 делите на 5, на 7, и так далее. Используйте простые числа. Рано или поздно вы получите в качестве результата деления простое число, это и будет последний из множителей.
6
Если какие-то из простых множителей повторяются несколько раз, их можно вынести из под знака корня. Например, если в ряду имеется два числа 3, а корень квадратный, то выносите 3 из под знака радикала. Обратите внимание, что количество одинаковых множителей должно совпадать с показателем радикала. Только в этом случае можно вынести множитель из под знака. Например, если у вас корень пятой степени, и множитель 2 повторяется 5 раз, то 2 можно вынести из под значка радикала.
7
В случае, если вам нужно внести или вынести под знак корня дробный множитель, то помните, что в обыкновенной дроби нужно отдельно работать с числителем и со знаменателем. Сначала позаботьтесь о том, чтобы целая часть дроби была перенесена в числитель. Например, 1½ должна быть преобразована к виду 3/2.

Совет 4: Как вынести множитель из-под знака корня

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.
Инструкция
1
Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, сколько указано в показателей корня, или больше. Например, вам нужно извлечь кубический корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак радикала.
2
Вспомните свойства корней. Вынесение из-под знака радикала представляет собой действие, противоположное возведению в степень. То есть в данном случае необходимо извлечь кубический корень из той часть выражения, которая поддается этой операции, в данном случае это а3 3√a*a3 =a3√a.
3
Проверьте вычисления. Это особенно важно, если вы действуете с числами, а не с обозначенными буквами переменными. Например, вам необходимо преобразовать выражение 3√120. Разложив подкоренное выражение на простые множители, вы получите 3√120=3√(60*2)=3√(30*2*2)=3√(15*2*2*2)=3√(3*5*2*2*2). Из-под корня можно вынести сомножитель 2. Получится выражение 23√15. Проверьте результат. Для этого необходимо внести множитель под корень, предварительно возведя его в соответствующую степень. 23 = 8. Соответственно, 23√15 = 3√(15*8) = 3√120.
4
Для разложения на простые сомножители чисел с большим количеством разрядов пользуйтесь калькулятором. Это полезно делать и при работе с корнями, показатель которых больше двух. При работе с обозначенными буквами переменными это не так уж важно, поскольку точные вычисления не нужны.
5
Пользуйтесь поисковыми системами. Это нужно, например, для поиска наибольшего целого множителя, который можно вынести из-под знака радикала. Воспользуйтесь системой Нигма. В поисковик введите число и то, что нужно с ним сделать. Например, введите выражение «120 разложить на множители». Вы получите ответ 23 (3*5), то есть то же самое, которого вы добились путем устных вычислений в заданном примере. Если вам нужно точное вычисление, воспользуйтесь он-лайн калькулятором.
Полезный совет
Вынесение множителя из-под корня имеет смысл только в том случае, если это действие действительно упрощает выражение.
Источники:
  • Онлайн калькулятор

Совет 5: Как решать задачи с параметрами

Решить задачу с параметром - значит найти, чему равна переменная при любом или указанном значении параметра. Либо задача может заключаться в поиске тех значений параметра, при которых переменная удовлетворяет определенным условиям.
Инструкция
1
Если данное вам уравнение или неравенство может быть упрощено, обязательно этим воспользуйтесь. Примените стандартные методы решения уравнений, как если бы параметр был обычным числом. В результате вы сможете выразить переменную через параметр, например, х=р/2. Если при решении уравнения вам не встретилось никаких ограничений к значению параметра (он не стоит под знаком корня, под знаком логарифма, в знаменателе), запишите этот ответ, указав, что он найден при всех действительных значениях параметра р.
2
Для решения задач со стандартными графиками (например, прямая, парабола, гипербола) используйте графический способ. Разделите область значений параметра на такие интервалы, в которых значение переменной (или переменных) будет различным, и для каждого интервала постройте отрезок графика. Обращайте особое внимание на крайние точки линий – чтобы точно определить их принадлежность графику, подставляйте это значение в функцию и решайте с ним уравнение. Если уравнение в этой точке решения не имеет (например, получается деление на ноль), исключите ее из графика, отметив пустым кружком.
3
Чтобы решить задачу относительно параметра, сначала примите переменную и параметр за равноправные члены уравнения или неравенства и максимально упростите выражение. Затем вернитесь к исходному смыслу членов и рассмотрите решение задачи для всех возможных значений параметра. Для этого множество значений параметра вам нужно разделить на интервалы.
4
При поиске границ интервалов обращайте внимание на те выражения, в которых участвует параметр. Например, у вас есть выражение (а-5), среди границ интервалов обязательно должно быть число 5, так как это значение обращает значение в скобках в 0. Большое значение имеет выражение с параметром под знаком деления, корня, модуля и т.д.
5
Когда вы найдете все возможные границы интервалов, рассмотрите свою функцию для каждого из них. Чтобы упростить эту задачу, просто подставляйте в функцию одно из чисел из этого промежутка и решайте полученную задачу. Часто, просто подставляя разные значения, можно нащупать верный путь решения задачи.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше