Совет 1: Как решить уравнение с двумя переменными

Иногда при решении простых уравнений с двумя неизвестными у многих школьников возникают небольшие трудности. Однако не стоит отчаиваться! Немного усилий, и вы сможете решить любые уравнения.
Инструкция
1
Допустим, у вас есть уравнение:
2х+у=10
х-у=2
Решить его можно несколькими способами.
2
Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все числа без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы найти «х , разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х . Найдите «у . Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у :
у=х-2=4-2=2
у=2.
3
Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!
4
Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от какой-нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у .
Так как в первом уравнении «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у :
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете проверить, что корни найдены верно.
5
Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х , а во втором просто «х . Для того, чтобы при сложении или вычитании «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте знаки на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение, в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными. Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
  • - линейное уравнение с двумя переменными;
  • - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
1
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
2
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
3
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи.
4
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, возраст, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество детей, яблок, деревьев и т.д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
5
Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.
Источники:
  • как решить уравнение с одной переменной

Совет 3: Как решить уравнение с тремя неизвестными

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.
Вам понадобится
  • - система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
1
Если два из трех уравнений системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными. Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с одной неизвестной. Если это удалось, дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
2
Некоторые системы уравнений можно решить вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из выражений на число или переменную так, чтобы при вычитании сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
3
Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными. Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных членов (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, равную матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
4
Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав определитель матрицы, обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
5
Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
Источники:
  • решений уравнений с тремя неизвестными

Совет 4: Как решить системное уравнение

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.
Инструкция
1
Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана система уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.
2
Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.
3
Это значение подставляем в первое выражение, таким образом избавляясь от х:2*(3-у)-3у-1=0.
4
Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.
5
Вынесение общего множителя и деление на него может стать хорошим способом упростить систему уравнений. Например, дана система:4х-2у-6=0;3х+2у-8=0.
6
В первом выражении все члены кратны 2, можно вынести 2 за скобку благодаря распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.
7
Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.
8
Но данную систему уравнений можно решить и гораздо проще - методом вычитания или сложения. Для того чтобы получить упрощенное выражение, необходимо из одного уравнения почленно вычесть другое или сложить их.4х-2у-6=0;3х+2у-8=0.
9
Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.
Видео по теме

Совет 5: Как решать биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение, которое и требуется решить.
Инструкция
1
Запишите заданное биквадратное уравнение. Произведите замену х^2 на переменную k. В итоге получится ak^2 – bk + c = 0.
Как решать биквадратное <strong>уравнение</strong>
2
Решите квадратное уравнение, получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение дискриминанта в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.
Как решать биквадратное <strong>уравнение</strong>
3
Если дискриминант получился отрицательным, то наше уравнение не имеет решения, как и заданное биквадратное уравнение. Если дискриминант равен нулю, то единственное решение определяется так: k = -b/2а.
4
Если дискриминант больше нуля, существуют два решения. Для их нахождения возьмите корень квадратный из дискриминанта D. Запишите значение в виде переменной QD.
Как решать биквадратное <strong>уравнение</strong>
5
Решите квадратное уравнение. Для этого подставьте в формулы известные значения. Для первого решения формула k1 = (-b+QD)/2а, для второго - k2 = (-b-QD)/2а.
Как решать биквадратное <strong>уравнение</strong>
6
Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений квадратного уравнения. Если решение было одно, то корней будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.
Как решать биквадратное <strong>уравнение</strong>
Видео по теме

Совет 6: Как решить уравнение методом Гаусса

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.
Инструкция
1
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
2
Полученные коэффициенты запишите в виде расширенной матрицы. Расширенная матрица – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. После этого переходите к элементарным преобразованиям в матрице. Начните переставлять местами ее строки до тех пор, пока не найдете пропорциональные или одинаковые. Как только такие строки появятся, удалите их все, кроме одной.
3
Если в матрице появится нулевая строка, удалите и ее. Нулевая строка – это строка, в которой все элементы равны нулю. Затем попробуйте делить или умножать строки матрицы на любые числа, кроме нуля. Это поможет вам упростить дальнейшие преобразования, избавившись от дробных коэффициентов.
4
Начните к строкам матрицы прибавлять другие строки, умноженные на любое число, отличное от нуля. Делайте это до тех пор, пока не обнаружите в строках нулевые элементы. Конечная цель всех преобразований – перевести всю матрицу в ступенчатый (треугольный вид), когда каждая нижеследующая строка будет иметь все больше и больше нулевых элементов. В оформлении задания простым карандашом можно подчеркнуть полученную лесенку и обвести кружками числа, расположенные на ступенях этой лестницы.
5
Затем приведите полученную матрицу обратно в исходный вид системы уравнений. В самом нижнем уравнении уже будет виден готовый результат: чему равна неизвестная, стоявшая на последнем месте каждого уравнения. Подставив полученное значение неизвестной в уравнение, расположенное выше, получите значение второй неизвестной. И так далее, пока не вычислите значения всех неизвестных.
Источники:
  • как решить систему методом гаусса

Совет 7: Как составить параметрическое уравнение

В зависимости от условий задачи и требований, предъявленных в ней, может потребоваться обратиться к каноническому или параметрическому способу задания прямой. Решая геометрические задачи, пробуйте заранее выписать все возможные варианты уравнений.
Инструкция
1
Проверьте наличие всех необходимых параметров для составления параметрического уравнения. Соответственно, вам потребуются координаты точки, принадлежащей этой прямой, а также направляющего вектора. Таковым будет любой вектор, проходящий параллельно этой прямой. Параметричское задание прямой представляет собой систему из двух уравнений х = х0+txt, y = y0+tyt, где (х0, у0) - координаты точки, лежащей на данной прямой, а (tx, ty) - координаты направляющего вектора по осям абсцисс и ординат, соответственно.
2
Не забывайте, что параметрическое уравнение предполагает необходимость выразить существующую между двумя (в случае прямой) переменными посредством некоторого третьего параметра.
3
Запишите каноническое уравнение прямой, исходя из имеющихся у вас данных: координаты направляющего вектора на соответствующих осях являются множителями параметрической переменной, а координаты принадлежащей прямой точки – свободными членами параметрического уравнения.
4
Обратите внимание на все условия, прописанные в задаче, если вам кажется, что не хватает данных. Так, подсказкой для составления параметрического уравнения прямой может стать указание векторов, перпендикулярных направляющему или расположенных к ней под определенным углом. Используйте условия перпендикулярности векторов: это возможно только в случае, если их скалярное произведение равно нулю.
5
Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки: их координаты дают вам необходимые данные для определения координат направляющего вектора. Запишите две дроби: в числителе первой должна стоять разность х и координаты по оси абсцисс одной из точек, принадлежащих прямой, в знаменателе – разность между координатами по оси абсцисс обеих данных точек. Запишите таким же образом дробь для значений по оси ординат. Полученные дроби приравняйте к параметру (его принято обозначать буквой t) и выразите через него сперва х, затем у. Система уравнений, ставшая итогом этих преобразований, и будет параметрическим уравнением прямой.
Видео по теме
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Комментарии 1
Пожаловаться
написал(а)
Решить систему уровнений . Как решить?

2х-у=5

3х+5у-z=1

z-y=29
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше