Совет 1: Как найти координаты конца вектора

В физике и математике вектор характеризуется величиной и направлением, а помещенный в ортогональную систему координат он однозначно задается парой точек - начальной и конечной. Расстояние между точками определяет величину вектора, а угол наклона образуемого ими отрезка к координатным осям характеризует направление. Зная координаты точки приложения (начальной точки), а также некоторые из параметров направленного отрезка можно вычислить и координаты конечной точки. К таким параметрам относятся углы наклона к осям, скалярная величина вектора (длина направленного отрезка), величины проекций на координатные оси.
Инструкция
1
Представление вектора в ортогональном пространстве суммой нескольких направленных отрезков, каждый из которых лежит на одной из осей, называют разложением вектора на составляющие. В условиях задачи вектор может быть задан скалярными величинами своих составляющих. Например, запись ā(X;Y), означает, что величина составляющей вдоль оси абсцисс равна X, а вдоль оси ординат Y. Если в условиях есть координаты начальной точки направленного отрезка А(X₁;Y₁), вычислить пространственное положение конечной точки B будет легко - просто прибавьте к значениям абсциссы и ординаты величины составляющих, которыми задан вектор: B(X₁+X;Y₁+Y).
2
Для трехмерной системы координат используйте те же правила - они действительны в декартовом пространстве любой размерности. Например, вектор может быть задан набором из трех чисел ā(28;11;-15) и координатами точки приложения А(-38;12;15). Тогда координатам конечной точки на оси абсцисс будет соответствовать отметка 28+(-38)=-10, на оси ординат 11+12=23, а на оси аппликат -15+15=0: В(-10;23;0).
3
Если в исходных условиях приведены координаты начальной точки вектора А(X₁;Y₁), длина направленного отрезка |AВ|=a и величина его наклона α к одной из координатных осей, такой набор данных тоже позволит однозначно определить конечную точку в двухмерном пространстве. Рассмотрите треугольник, составленный вектором и двумя его проекциями на координатные оси. Угол, образованный проекциями, будет прямым, а напротив одной из них - например, X - будет лежать угол известной из условий задачи величины α. Чтобы найти длину этой проекции используйте теорему синусов: X/sin(α) = a/sin(90°). Из нее вытекает, что X=a*sin(α).
4
Для нахождения второй проекции (Y) воспользуйтесь тем, что по теореме о сумме углов треугольника лежащий напротив нее угол должен быть равен 180°-90°-α=90°-α. Это даст вам возможность для вычисления длины и этой проекции применить теорему синусов - выделите Y из равенства Y/sin(90°-α) = a/sin(90°). В результате у вас должна получиться такая формула: Y=a*sin(90°-α).
5
Подставьте полученные на двух предыдущих шагах выражения для длин проекций в формулу из первого шага и рассчитайте координаты конечной точки. Если решение надо представить в общем виде, искомые координаты запишите так: В(X₁+a*sin(α);Y₁+a*sin(90°- α)).

Совет 2: Как найти длину вектора, если есть его координаты

Вектор - это направленный отрезок, характеристикой которого является упорядоченная пара или тройка точек евклидова пространства. Под длиной вектора понимают скалярную величину, равную арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Вам понадобится
  • Базовые знания по математике и по геометрии.
Инструкция
1
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора. Пусть дан вектор a(0, 5, -2). Возведем в квадрат координаты вектора и найдем сумму полученных квадратов. Для вектора "а" получим следующее: 0*0+5*5+(-2)*(-2) = 9
2
Извлечем квадратный корень из полученного числа. Результатом извлечения квадратного корня будет число равное длине вектора. Для вектора "а" его длина будет равна корню квадратному из 9. То есть длина a=3.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина вектора величина не отрицательная. После извлечения корня вы должны получить положительное число.
Полезный совет
Длина нулевого вектора всегда равна нулю. Это следуют из того что его координатами являются нули.
Источники:
  • найти вектор по координатам

Совет 3: Как найти координаты вектора

Вектором в математике и в геометрии в частности называют направленный отрезок. Одной из характеристик вектора является его координаты. Координатами вектора как правило является упорядоченный набор чисел.
Вам понадобится
  • Знания по математике и геометрии.
Инструкция
1
Поместим в начало вектора нулевую точку декартовой системы координат. Теперь для того, чтобы определить координаты вектора необходимо будет найти координаты его конца.
2
Опустим перпендикуляры из конца вектора на оси координат. Получим точки пересечения с осями. Координаты этих точек и будут являться соответствующими координатами данного вектора.
Обратите внимание
После получения координат точек, в правильном порядке запишите их в координаты вектора. В противном случае могу возникнуть различные проблемы, например при сложении или умножении векторов.
Полезный совет
Координаты вектора могут быть любыми числами. Знак координаты характеризует направление вектора.

Совет 4: Как определить координаты вектора

Еще из школьной программы по алгебре и геометрии нам известно, что вектором называется отрезок, имеющий направление. Координаты вектора определяют его характеристику и являются упорядоченным набором чисел. Найти их совершенно несложно, вспомнив некоторые сведения из школьного курса обучения.
Инструкция
1
координаты bвектора/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Поместите в начало вектора, координаты которого вам надо найти, точку нулевого отсчета декартовой системы координат. После этого для определения координаты вектора, найдите месторасположение его конечной точки. Для этого опустите по одному перпендикуляру на координатные оси Икс и Игрек. Таким образом, вы получите точки, в которых вектор пересекается с осями. Определите координаты этих точек. Они и будут являться координатами заданного вектора. Это стандартный способ определения координат вектора на плоскости.
2
Если вам надо определить координаты вектора в пространстве, действуйте по такому же принципу, как и нахождение их на плоскости. Это абсолютно такие же направленные отрезки, которые имеют начало и конец. Различие состоит лишь в том, что вектор в пространстве задается не двумя, а тремя координатами x, y и z (на плоскости это длина и высота, а в пространстве ко всему добавляется еще и глубина) a(xa; ya; za), где а обозначает длину вектора. Таким образом, чтобы найти координаты вектора в пространстве, вам надо из координаты конца вычесть координату начала вектора. Произведите вычисления по формуле: a =AB (xB − xA; yB − yA; zB − zA). Это лишь один из способов решения задач по стереометрии (изучение фигур в пространстве), в котором применяются простые формулы, правила и алгоритмы. Он занимает минимум времени и весьма удобен.
3
Определите координаты вектора в пространстве классическим способом, который потребует от вас отличного знания теорем и аксиом стереометрии, умений строить чертежи и сводить объемные задачи к планиметрическим. Он хорош тем, что отлично развивает мозг и пространственное мышление, но требует гораздо большего времени и при малейшей ошибке дает неверные результаты. Классический способ обычно широко применяется архитекторами при планировке чертежей будущих зданий.

Совет 5: Как доказать, что вектора образуют базис

Базисом в n-мерном пространстве называется такая система из n векторов, когда все остальные векторы пространства можно представить в виде комбинации векторов, входящих в базис. В трехмерном пространстве в любой базис входят три вектора. Но не любые три образуют базис, поэтому и существует задача проверки системы векторов на возможность построения из них базиса.
Вам понадобится
  • - умение вычислять определитель матрицы
Инструкция
1
Пусть в линейном n-мерном пространстве существует система векторов e1, е2, е3, ... , еn. Их координаты: e1 = (e11; e21; e31; ... ; en1), е2 = (е12; е22; е32; ... ; еn2), ... , еn = (e1n; e2n; e3n; ... ; enn). Чтобы узнать, образуют ли они базис в этом пространстве, составьте матрицу со столбцами e1, е2, е3, ... , еn. Найдите ее определитель и сравните его с нулем. Если определитель матрицы из этих векторов не равен нулю, то такие векторы образуют базис в данном n-мерном линейном пространстве.
2
Например, пусть даны три вектора в трехмерном пространстве a1, a2 и a3. Их координаты: а1 = (3; 1; 4), а2 = (-4; 2; 3) и а3 = (2; -1; -2). Надо выяснить, образуют ли эти вектора базис в трехмерном пространстве. Составьте матрицу из векторов, как показано на рисунке.
3
Вычислите определитель получившейся матрицы. На рисунке показан простой способ вычисления определителя матрицы 3 на 3. Элементы, соединенные линией, следует перемножить. При этом произведения, обозначенные красной линией входят в общую сумму со знаком "+", а соединенные синей линией - со знаком "-". det A = 3*2*(-2) + 1*2*3 + 4*(-4)*(-1) - 2*2*4 - 1*(-4)*(-2) - 3*3*(-1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5 -5≠0, следовательно, а1, а2 и а3 образуют базис.
Видео по теме
Источники:
  • Базис и размерность линейного пространства

Совет 6: Как найти координаты вектора в базисе

Пара точек называется упорядоченной, если про них известно, какая из точек является первой, а какая – второй. Отрезок с упорядоченными концами называется направленным отрезком или вектором. Базисом в векторном пространстве называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по ней. Коэффициенты при данном разложении являются координатами вектора в этом базисе.
Инструкция
1
Пусть имеется система векторов a1,a2,…,ak. Она линейно независима, когда нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом. Другими словами, только тривиальная комбинация этих векторов даст своим результатом нулевой вектор. Тривиальное разложение предполагает равенство нулю всех коэффициентов.
2
Система, состоящая из одного ненулевого вектора, всегда линейно независима. Система из двух векторов линейно независима, если они не коллинеарны. Чтобы система из трех векторов была линейно независимой, необходимо, чтобы они были некомпланарными. Из четырех и более векторов уже невозможно составить линейно независимую систему.
3
Таким образом, в нулевом пространстве базиса нет. В одномерном пространстве базисом может быть любой ненулевой вектор. В пространстве размерностью два базисом может стать любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Наконец, упорядоченная тройка некомпланарных векторов сформирует базис для трехмерного пространства.
4
Вектор можно разложить по базису, например, p= λ1•a1+ λ2•a2+…+ λk•ak. Коэффициенты при разложении λ1,…, λk являются координатами вектора в этом базисе. Иногда они называются также компонентами вектора. Поскольку базис являет собой линейно независимую систему, коэффициенты разложения определены однозначно и единственным образом.
5
Пусть имеется базис, состоящий из одного вектора e. У любого вектора в этом базисе будет только одна координата: p=a•e. Если p сонаправлен базисному вектору, число a покажет соотношение длин векторов p и e. Если противоположно направлен, число a будет еще и отрицательным. В случае произвольного направления вектора p по отношению к вектору e в компоненту a будет входить косинус угла между ними.
6
В базисе более высоких порядков разложение будет представлять более сложное уравнение. Тем не менее, можно последовательно разложить заданный вектор по векторам базиса, аналогично одномерному.
7
Чтобы найти координаты вектора в базисе, поместите на чертеже вектор рядом с базисом. Если необходимо, начертите проекции вектора на координатные оси. Сравните длину вектора с базисом, распишите углы между ним и базисными векторами. Используйте для этого тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс. Разложите вектор по базису, а коэффициенты при разложении будут его координатами.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
  • как найти базис пересечения

Совет 7: Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде. После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.
Инструкция
1
Рассмотрите прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор. Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z - d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как ā = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
2
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*tₒ+X₁) + b*(b*tₒ+Y₁) + c*(c*tₒ+Z₁) - d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная tₒ:a²*tₒ + a*X₁ + b²*tₒ + b*Y₁ + c²*tₒ + c*Z₁ - d = 0a²*tₒ + b²*tₒ + c²*tₒ = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ*(a² + b² + c²) = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)
3
Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:Xₒ = a*tₒ+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁Yₒ = b*tₒ+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁Zₒ = c*tₒ+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции. Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).
Видео по теме

Совет 8: Как определить проекцию вектора

Вектор можно рассматривать как упорядоченную пару точек в пространстве или направленный отрезок. В школьном курсе аналитической геометрии часто рассматриваются разные задачи на определение его проекций - на координатные оси, на прямую, на плоскость или на другой вектор. Обычно речь идет о двух- и трехмерных прямоугольных системах координат и перпендикулярных проекциях вектора.
Инструкция
1
Если вектор ā задан координатами начальной A(X₁,Y₁,Z₁) и конечной B(X₂,Y₂,Z₂) точек, а найти требуется его проекцию (P) на оси прямоугольной координатной системы, сделать это очень просто. Посчитайте разность соответствующих координат двух точек - т.е. проекция вектора AB на ось абсцисс будет равна Px = X₂-X₁, на ось ординат Py = Y₂-Y₁, аппликат - Pz = Z₂-Z₁.
2
Для вектора, заданного парой или тройкой (в зависимости от размерности пространства) своих координат ā{X,Y} или ā{X,Y,Z} упростите формулы предыдущего шага. В этом случае его проекции на координатные оси (āx, āy, āz) равны соответствующим координатам: āx = X, āy = Y и āz = Z.
3
Если в условиях задачи координаты направленного отрезка не указаны, но дана его длина |ā| и направляющие косинусы cos(x), cos(y), cos(z), определить проекции на координатные оси (āx, āy, āz) можно как в обычном прямоугольном треугольнике. Просто перемножьте длину на соответствующий косинус: āx = |ā|*cos(x), āy = |ā|*cos(y) и āz = |ā|*cos(z).
4
По аналогии с предыдущим шагом, проекцией вектора ā(X₁,Y₁) на другой вектор ō(X₂,Y₂) можно считать его проекцию на произвольно взятую ось, параллельную вектору ō и имеющую совпадающее с ним направление. Для вычисления этой величины (ā₀) умножайте модуль вектора ā на косинус угла (α) между направленными отрезками ā и ō: ā₀ = |ā|*cos(α).
5
Если угол между векторами ā(X₁,Y₁) и ō(X₂,Y₂) неизвестен, для вычисления проекции (ā₀) ā на ō разделите их скалярное произведение на модуль ō: ā₀ = ā*ō/|ō|.
6
Ортогональной проекцией вектора AB на прямую L называют отрезок этой прямой, образованный перпендикулярными проекциями начальной и конечной точек исходного вектора. Для определения координат точек проекции используйте формулу, описывающую прямую (в общем виде a*X+b*Y+c=0), и координаты начальной A(X₁,Y₁) и конечной B(X₂,Y₂) точек вектора.
7
Аналогичным способом находите и ортогональную проекцию вектора ā на плоскость, заданную уравнением - это должен быть направленный отрезок между двумя точками плоскости. Координаты его начальной точки рассчитайте из формулы плоскости и координат начальной точки исходного вектора. Это же относится и к конечной точке проекции.

Совет 9: Как найти сумму координат

Каждый материальный объект занимает в пространстве свое место. Координаты физического тела - это числовые характеристики его размещения, определяющие взаимное положение предметов.
Инструкция
1
Уточните, сумму координат каких объектов необходимо найти и количество координат. Объект может быть точкой, которая перемещается вдоль одной координатной оси. Возможно, требуется суммировать координаты точек на плоскости или в пространстве.
2
Если точки перемещаются только по прямой, то такие точки имеют лишь одну координату. Совместите числовую ось с прямой, по которой движутся рассматриваемые объекты.
3
Теперь задача нахождения суммы координат двух или нескольких точек сводится к операции сложения положительных и отрицательных чисел. Основополагающим моментом является определение нуля отсчета и указание на то, какое направление от нуля считать положительным, а какое — отрицательным.
4
Точка на плоскости задается двумя параметрами. Для нахождения суммы координат точки на плоскости сложите два числа — координаты точки по оси ОХ и по оси ОY.
5
При определении суммы координат вектора на плоскости XOY сначала найдите координаты начала и конца вектора. От значения Х конца вектора отнимите значение Х начала вектора. Полученное число является абсциссой вектора. Разность между величиной Y конца и начала вектора — ордината вектора. Сложите абсциссу и ординату вектора и получите сумму координат вектора.
6
Для нахождения суммы координат точки пересечения двух прямых или кривых необходимо сначала найти эти точки. Задача заключается в решении системы уравнений, описывающих пересекающиеся прямые (кривые). Общие корни уравнений - искомые точки пресечения.
7
При рассмотрении точки в пространстве сумма координат определяется путем сложения трех чисел — величин ОХ, ОY и OZ.
Видео по теме
Источники:
  • сумма координат вектора
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше