Совет 1: Как возвести число в квадрат

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат. Даже первоклассник знает, что «дважды два — четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа лучше перемножать в столбик или на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.
Инструкция
1
Разложите любое двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц — 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.
2
Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.
3
Аналогично сделайте со вторым числом: 6 * 6 = 36
4
Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.
5
Сложите результаты второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть результат возведения в квадрат числа 96. После некоторой тренировки сможете быстро делать шаги в уме, удивляя родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте результаты каждого шага, чтобы не запутаться.
6
Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.
7
Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.
8
Запомните особый способ возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите количество десятков: в числе 75 их 7 штук.
9
Умножьте количество десятков на следующую цифру в числовом ряду: 7 * 8 = 56.
10
Припишите справа число 25: 5625 — результат возведения в квадрат числа 75.
11
Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, поэтому последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 — результат.
12
Научитесь возводить в квадрат отрицательные числа: -95 в квадрате равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Аналогично -74 в квадрате равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число: -95 * -95 = 9025. Поэтому при возведении в квадрат можете просто не обращать внимания на знак «минус».

Совет 2: Как возвести число в степень

Возведение числа в степень является одним из простейших алгебраических действий. В обыденной жизни возведение применяется редко, а вот на производстве при выполнении расчетов – практически повсеместно, поэтому полезно вспомнить, как это делается.
Инструкция
1
Предположим, что мы имеем какое-то число а, степенью которого является число n. Возвести число в степень означает, что необходимо умножить число а на самоё себя n раз.
2
Рассмотрим несколько примеров.

Чтобы возвести число 2 во вторую степень, необходимо произвести действие:

2х2=4
3
Чтобы возвести число 3 в пятую степень, необходимо выполнить действие:

3х3х3х3х3=243
4
Существует общепризнанное обозначение второй и третьей степени чисел. Словосочетание «вторая степень» обычно заменяется словом «квадрат», а вместо словосочетания «третья степень» обычно говорят «куб».
5
Как видно из приведенных выше примеров, длительность и трудоемкость вычислений зависит от величины показателя степени числа. Возведение в квадрат или куб – довольно простая задача; возведение числа в пятую или большую степень уже требует больше времени и аккуратности в вычислениях. Для ускорения данного процесса и исключения ошибок можно воспользоваться специальными математическими таблицами или инженерным калькулятором.
Источники:
  • число в степени

Совет 3: Как возвести в - 1 степень

Для краткой записи произведения одного и того же числа самого на себя математики придумали понятие степени. Поэтому выражение 16*16*16*16*16 можно записать более коротким способом. Оно будет иметь вид 16^5. Выражение будет читаться как число 16 в пятой степени.
Вам понадобится
  • Бумага, ручка.
Инструкция
1
В общем виде степень записывается как a^n. Эта запись означает, что число a умножается на себя n раз.
Выражение a^n называется степенью,
a – это число, основание степени,
n – это число, показатель степени. Например, a = 4, n = 5,
Тогда запишем 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1 024
2
Степень n может быть отрицательным числом
n = -1, -2, -3 и т.д.
Чтобы вычислить отрицательную степень числа, его необходимо опустить в знаменатель.
a^(-n) = (1/a)^n = 1/a*1/a*1/a* … *1/a = 1/(a^n)
Рассмотрим пример
2^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125
3
Как видно из примера, -3 степень от числа 2 можно вычислить разными способами.
1) Сначала посчитать дробь 1/2 = 0,5; а затем возвести в степень 3,
т.е. 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
2) Сначала возвести знаменатель в степень 2^3 = 2*2*2 = 8, а затем вычислить дробь 1/8 = 0,125.
4
Теперь вычислим -1 степень для числа, т.е. n = -1. Правила, рассмотренные выше, подходят для этого случая.
a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a
Например, возведем число 5 в -1 степень
5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.
5
Из примера наглядно видно, что число в -1 степени – это обратная дробь от числа.
Представим число 5 в виде дроби 5/1, тогда 5^(-1) можно арифметически не считать, а сразу написать дробь, обратную 5/1, это 1/5.Так, 15^(-1) = 1/15,
6^(-1) = 1/6,
25^(-1) = 1/25
Обратите внимание
При возведении числа в отрицательную степень следует помнить, что число не может быть равно нулю. Согласно правилу, мы должны число опустить в знаменатель. А ноль не может быть в знаменателе, потому что на ноль делить нельзя.
Полезный совет
Иногда при работе со степенями для упрощения расчета дробное число специально заменяют целым в -1 степени
1/6 = 6^(-1)
1/52 = 52^(-1).
Источники:
  • http://www.coolmath.ru/lessons/7/360-chto-takoe-stepen-s-naturalnym-pokazatelem.html
  • числа в 1 степени

Совет 4: Как возвести дробь в квадрат

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.
Вам понадобится
  • калькулятор, компьютер, приложение Excel.
Инструкция
1
Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат, возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.
2
Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда примеры «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на коробке калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».
3
Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.
4
Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.
5
Если возводить в квадрат обыкновенные (не десятичные) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь.Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как с обыкновенной дробью (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробью цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в клетке сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых являются обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Совет 5: Как выделить квадрат двучлена

Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.
Инструкция
1
Метод выделения полного квадрата двучлена основан на использовании двух формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для второй степени и позволяют упростить искомое выражение так, чтобы можно было провести последующее сокращение или разложение на множители:
(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;
(m - n)² = m² - 2·m·n + n².
2
Согласно этому методу из исходного многочлена требуется выделить квадраты двух одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Применение этого метода имеет смысл, если старшая степень слагаемых не меньше 2. Предположим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:
4·y^4 + z^4
3
Для решения задачи нужно воспользоваться методом выделения полного квадрата. Итак, выражение состоит из двух одночленов с переменными четной степени. Следовательно, можно обозначить каждый из них через m и n:
m = 2·y²; n = z².
4
Теперь нужно привести исходное выражение к виду (m + n)². В нем уже присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Нужно добавить его искусственно, а потом вычесть:
(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² - 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².
5
В получившемся выражении можно увидеть формулу разности квадратов:
(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).
6
Итак, метод состоит из двух этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Метод выделения полного квадрата двучлена может применяться не только самостоятельно, но и в комбинации с другими методами: вынесения за скобки общего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.
7
Пример 2.
Выделите полный квадрат в выражении:
4·y² + 2·y·z + z².
Решение.
4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.
8
Метод применяется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y² + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ≠ 0.
a·y² + b·y + c = a·(y² + (b/a)·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y + b²/(4·a²)) + c – b²/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ² – (b² – 4·a·c)/(4·a).
9
Эти расчеты приводят к понятию дискриминанта, который равен (b² – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:
y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± √ ((b² – 4·a·c)/(4·a)).
Источники:
  • метод выделения полного квадрата

Совет 6: Как возвести отрицательное число в степень

Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два обязательных входных параметра и один выходной. Один из исходных параметров называется показателем степени и определяет количество раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру - основанию. Основание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Инструкция
1
Используйте при возведении в степень отрицательного числа обычные для этой операции правила. Как и для положительных чисел, возведение в степень означает умножение исходной величины на саму себя количество раз, на единицу меньшее показателя степени. Например, чтобы возвести в четвертую степень число -2, его нужно трижды умножить на себя: -2⁴=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.
2
Умножение двух отрицательных чисел всегда дает положительное значение, а результатом этой операции для величин с разными знаками будет число отрицательное. Из этого можно сделать вывод, что при возведении отрицательных значений в степень с четным показателем всегда должно получаться число положительное, а при нечетных показателях результат всегда будет меньше нуля. Используйте это свойство для проверки произведенных расчетов. Например, -2 в пятой степени должно быть числом отрицательным -2⁵=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой - положительным -2⁶=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.
3
При возведении отрицательного числа в степень показатель может быть приведен в формате обыкновенной дроби - например, -64 в степени ⅔. Такой показатель означает, что исходную величину следует возвести в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а здесь вам следует обратить внимание на другую.
4
Извлечение корня - нечетная функция, то есть для отрицательных вещественных чисел она может применяться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Поэтому, если в условиях задачи требуется возвести отрицательное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте сначала операции из первых двух шагов, используя в качестве показателя степени числитель дроби, а затем извлеките корень со степенью знаменателя.

Совет 7: Как возвести квадрат в степень

Степенной формат записи числа - это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, можно осуществлять те же операции, что и с любыми другими числами, в том числе и возводить их в степень. Например, можно возвести в произвольную степень квадрат числа и получение результата на современном уровне развития техники не составит какой-либо трудности.
Вам понадобится
  • Доступ в интернет или калькулятор Windows.
Инструкция
1
Для возведения квадрата в степень используйте общее правило возведения в степень числа, уже имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается прежним. Если основание обозначить как x, а исходный и дополнительный показатели степени - как a и b, записать это правило в общем виде можно так: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
2
Для практических расчетов проще всего воспользоваться поисковой системой Google - в нее встроен очень простой в использовании калькулятор. Например, если требуется возвести в пятую степень квадрат числа 6, перейдите на главную страницу поисковика и введите соответствующий запрос. Сформулировать его можно так: (6^2)^5 - здесь значок ^ обозначает степень. А можно самостоятельно рассчитать результирующий показатель степени в соответствии с формулой из предыдущего шага и сформулировать запрос так: 6^10. Или доверить сделать это Google, введя такой запрос: 6^(2*5). Для каждого из этих вариантов калькулятор поисковика вернет одинаковый ответ: 60 466 176.
3
При отсутствии доступа в интернет вычислитель Google можно заменить, например, встроенным калькулятором Windows. Если вы используете версии Seven или Vista этой ОС, раскройте главное меню системы и наберите всего две буквы: «ка». Система отобразит в главном меню все программы и файлы, которые у нее ассоциируется с этим сочетанием. В первой строке будет ссылка «Калькулятор» - кликните по ней мышкой, и приложение будет запущено.
4
Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, чтобы в интерфейсе приложения появилась кнопка с функцией возведения в произвольную степень. Затем введите основание - в примере из второго шага это число 6 - и кликните сначала по кнопке x², а затем по кнопке xʸ. Введите показатель степени, в которую нужно возвести квадрат - в использованном примере это число 5. Нажмите кнопку Enter, и калькулятор отобразит окончательный результат операции.
Видео по теме
Полезный совет
Чтобы тренировка не была скучной, позовите на помощь друга. Пусть он пишет двузначное число, а вы — итог возведения этого числа в квадрат. Затем меняйтесь местами.
Источники:
  • Возведение числа в квадрат
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500