Совет 1: Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Вычисление пределов с применением способов дифференциального исчисления основывается на правиле Лопиталя. При этом известны примеры, когда это правило не применимо. Поэтому остается актуальной и задача вычисления пределов обычными способами.
Инструкция
1
Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных дробей Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например [0/0]. Для ее устранения просто поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
2
Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус берется от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется формула (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов вычисления пределов.
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
3
Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения неопределенностей типа [1^∞]. Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их показатели перемножаются. Соответствующий пример приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в том числе и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
4
Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы. Метод позволяет существенно упростить процесс нахождения пределов, сделав его более прозрачным.

Совет 2: Как найти пределы по правилу лопиталя

Краткая историческая справка: маркиз Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь обожал математику и был настоящим меценатом для известных ученых. Так Иоганн Бернулли был его постоянным гостем, собеседником и даже сотрудником. Существует предположение, что Бернулли подарил право авторства известного правила Лопиталю в знак благодарности за его услуги. В пользу этой точки зрения говорит тот факт, что доказательство к правилу было официально опубликовано спустя 200 лет еще одним известным математиком Коши.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага.
Инструкция
1
Правило Лопиталя заключается в следующем: предел отношения функций f(x) и g(x), при х стремящемуся к точке а, равен соответствующему пределу отношения производных этих функций. При этом значение g(a) не равно нулю, как и значение ее производной в этой точке (g’(a)). Кроме того предел g’(a) существует. Аналогичное правило действует и при x, стремящемуся к бесконечности. Таким образом можно записать (см. рис.1):
рис.1
2
Правило Лопиталя позволяет устранять неопределенности типа ноль делить на ноль и бесконечность делить на бесконечность ([0/0], [∞/∞] Если на уровне первых производных вопрос еще не разрешен, следует использовать производные второго и даже большего порядка.
3
Пример 1. Найти предел при х стремящемуся к 0 отношения sin^2(3x)/tg(2x)^2.
Здесь f(x)=sin^2(3x), g(x)=tg(2x)^2. f’(x)=2•3sin3xcos3x=6sin3xcos3x, g’(x)=4x/cos^2(2x)^2. lim(f’(x)/g’(x))=lim(6sin3x/4x), так как cos(0)=1. (6sin3x)’=18cos3x, (4x)’=4. Итак (см. рис. 2):
рис.2
4
Пример 2. Найти предел на бесконечности рациональной дроби (2x^3+3x^2+1)/(x^3+4x^2+5x+7). Ищем отношение первых производных. Это (6x^2+6x)/(3x^2+8x+5). Для вторых производных (12x+6)/(6x+8). Для третьих 12/6=2 (см. рис.3).
рис.3
5
Остальные неопределенности, на первый взгляд, не подлежат раскрытию с помощью правила Лопиталя, т.к. не содержат отношения функций. Однако некоторые предельно простые алгебраические преобразования могут помочь устранить их. Прежде всего можно ноль умножить на бесконечность [0•∞]. Любую функцию q(x) → 0 при х → а можно переписать в виде
q(x)=1/(1/q(x)) и здесь (1/q(x))→∞.
6
Пример 3.
Найти предел (см. рис.4)
В данном случае есть неопределенность ноль умножить на бесконечность. Преобразовав это выражение получите: xlnx=lnx/(1/x), то есть соотношение вида [∞-∞]. Применив правило Лопиталя, получите отношение производных (1/x)/(-1/x2)=-х. Так как х стремится к нулю, , решение предела будет ответ: 0.
рис.4
7
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.

Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении пределов функций типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда логарифм искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
рис.5
Видео по теме
Источники:
  • вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя

Совет 3: Как вычислить предел с примерами

Функция является одним из фундаментальных математических понятий. Ее предел – это такое значение, при котором аргумент стремится к определенной величине. Вычислить его можно, используя некоторые приемы, например, правило Бернулли-Лопиталя.
Инструкция
1
Чтобы вычислить предел в заданной точке x0, следует подставить это значение аргумента в выражение функции, стоящее под знаком lim. Вовсе не обязательно, чтобы эта точка принадлежала области определения функции. Если предел определен и равен однозначному числу, то говорят, что функция сходится. Если же он не может быть определен, или бесконечен в конкретной точке, то налицо расхождение.
2
Теорию решения пределов лучше совмещать с практическими примерами. Например, найдите предел функции:lim (х² – 6•х - 14)/(2•² + 3•х - 6) при х→-2.
3
Решение.Подставьте в выражение значение х = -2:lim (х² – 6•х - 14)/(2•х² + 3•х - 6) = -1/2.
4
Не всегда решение является настолько очевидным и простым, особенно если выражение слишком громоздкое. В этом случае сначала следует упростить его методами сокращения, группировки или замены переменной:lim_(х→-8) (10•х - 1)/(2•х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10•у³ - 1)/(2•у³ + у) = 9/2.
5
Часто возникают ситуации невозможности определения предела, особенно если аргумент стремится к бесконечности или нулю. Подстановка не приносит ожидаемого результата, приводя к неопределенности вида [0/0] или [∞/∞]. Тогда применимо правило Лопиталя-Бернулли, которое предполагает нахождение первой производной. Например, вычислите предел lim (х² – 5•х -14)/(2•х²+ х - 6) при х→-2.
6
Решение.lim (х² – 5•х -14)/(2•х² + х - 6) = [0/0].
7
Найдите производную:lim (2•х - 5)/(4•х + 1) = 9/7.
8
Для того, чтобы облегчить работу, в некоторых случаях можно применять так называемые замечательные пределы, представляющие собой доказанные тождества. На практике их существует несколько, однако чаще всего используются два.
9
lim (sinx/x) = 1 при x → 0, верно и обратное: lim (x/sinx) = 1; x → 0.Аргумент может быть любой конструкцией, главное, чтобы ее значение стремилось к нулю:lim (x³ – 5•x² + x)/sin(x³ – 5•x² + x) = 1; x → 0.
10
Второй замечательный предел:lim (1 + 1/x)^x = e (число Эйлера) при x → ∞.
Видео по теме

Совет 4: Как вычислить предел

Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.
Инструкция
1
Чтобы вычислить предел, необходимо определить, чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях задача не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает неопределенность вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо правило, выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.
2
Как и любое другое математическое понятие, предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, например, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
3
Рассмотрите пример, чтобы сделать теорию более наглядной. Найдите предел функции (2•x² – 3•x – 5)/(x + 1) при х, стремящемся к 1. Сделайте простую подстановку:(2•1² – 3•1 – 5)/(1 + 1) = -6/2 = -3.
4
Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).
5
В этом примере x стремится к бесконечности, т.е. постоянно возрастает. В выражении переменная фигурирует со знаком минус, следовательно, чем больше значение переменной, тем больше убывает функция. Поэтому предел в этом случае равен -∞.
6
Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4•x³)/(x³ + 2•х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = [0/0].Продифференцируйте выражение функции:lim (5•x^4 – 12•x²)/(3•x² + 4•x) = (5•16 – 12•4)/(3•4 - 8) = 8.
7
Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2•∛x)/(x + 5) = [y=∛x] = lim_(y→5) (y³ + 2•y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.

Совет 5: Как вычислить число пи

Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число, первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.
Инструкция
1
π — иррациональное число. Это значит, что его невозможно представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем. Более того, π — трансцендентное число, то есть оно не может служить решением никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.
2
Древнейшие приближения, которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.
3
Архимед и другие математики вычисляли π с помощью сложной и трудоемкой геометрической процедуры — измерения периметров вписанных и описанных многоугольников. Полученное ими значение было равно 3,1419.
4
Еще одна приближенная формула определяет, что π = √2 + √3. Она дает значение для π, примерно равное 3,146.
5
С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент — степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что бесконечный ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится к сумме, равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
6
Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
7
Для большинства практических расчетов вполне достаточно знать число π с точностью до семи знаков после запятой: 3,1415926. Его можно легко запомнить при помощи мнемонической фразы: «Три — четырнадцать — пятнадцать — девяносто два и шесть».
Обратите внимание
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади.  double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Полезный совет
Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Источники:
  • История числа Пи

Совет 6: Как вычислить вторую производную

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.
Инструкция
1
Дифференцирование функции при каждом значении области ее определения приводит к появлению новой функции. Таким образом, она тоже может быть продифференцирована. Результатом этой вторичной операции будет вторая производная исходной функции.
2
Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, произведения и деления, а также сложных функций вида u(g(х)):• u’ = С’ = 0 – производная константы;• u’ = х’ = 1 – простейшая функция одного аргумента;• u’ = (х^а)’ = а•х^(а-1);• u’ = (а^х)’ = а^х•ln а – показательная функция;
3
Основные тригонометрические функции также являются табличными:• u’ = (sin х)’ - соs х;• u’ = (соs х)’ = -sin х;• u’ = (tg х)’ = 1/соs² х;• u’ = (ctg х)’ = - 1/sin² х.
4
Арифметические операции пары функций u(х) и g(х):• (u + g)’ = u’ + g’;• (u•g)’ = u’•g + g’•u;• (u/g)’ = (u’•g – g’•u)/g².
5
Довольно трудно вычислить вторую производную сложной функции. Для этого применяют методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2•u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2•h) + 16•u(х + h) – 30•u(х) + 16•u(х - h) – u(х – 2•h))/(12•h²) + α(h²) – формула Стрилинга.
6
В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется шагом аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
7
Метод вычисления второй производной применяется при нахождения полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х •d²х + ∂u’/∂y •d²у + ∂u’/∂z •d²z.
8
Пример: найдите вторую производную функции u = 2•х•sin х – 7•х³ + х^5/tg х.
9
Решениеu’ = 2•sin x + 2•х•соs х – 21•х² + 5•х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4•соs х – 2•х•sin х – 42•х + 20•х³/tg х – 5•х^4/sin² х – 2•х/sin² х + 2•х²•соs х/sin³ х.

Совет 7: Как найти производную функции

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную, чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.
Инструкция
1
Производная функции в точке показывает быстроту ее изменения и вычисляется через теорию пределов. Поэтому она может иметь как конечное, так и бесконечное значение. Во втором случае говорят, что исходная функция не дифференцируема в этой точке. Существуют правила, по которым можно найти производную простейшей, элементарной и сложной функции.
2
Запомните таблицу вычисления производных простейших и некоторых элементарных функций:- С’ = 0;- х’ = 1;- (С•х)’ = С•х’ = С;- (sin х)’ = соs х; (соs х)’ = - sin х;- (tv х)’ = 1/соs² х; (сtv х)’ = -1/sin² х;- b^х = b^х•ln b;- lоv_b х = 1/(х•ln b).
3
Применяйте общие правила дифференцирования.Производная степенной функции вида х^n, где n>1, равна n•х^(n-1). Примеры: (х^4)’ = 4•х³; (5•х³)’ = 5•3•х² = 15•х².
4
Производная суммы функций находится путем сложения их отдельных производных: (Σfi(х))’ = Σfi’(х). Примеры: (sin х + соs х)’ = соs х – sin х; (х^5 + 6•х^4 – 2•х² + 14•х)’ = 5•х^4 + 24•х³ – 4•х + 14. При дифференцировании многочлена его степень уменьшается на 1.
5
Производная произведения, где оба множителя являются функциями, равна сумме двух элементов. В первом случае это производная первой функции и исходное выражение второй, во втором случае – наоборот: (f•v)’ = f’•v + f•v’.Пример: (5^х•lоv_5 х)’ = (5^х)’•lоv_5 х + 5^х•(lоv_5 х)’ = 5•х•ln 5•lоv_5 х + 5^х/(х•ln 5).
6
Дробь, где числитель и знаменатель – функции, дифференцируется по более сложной формуле: (f/v)’ = (f’•v – f•v’)/v². Пример: ((х•sin х)/(5•х² + 3))’.Решение.К этому выражению применимы сразу два правила дифференцирования: суммы и произведения функций одного и того же аргумента:((х•sin х)/(5•х² + 3))’ = ((х•sin х)’•(5•х² + 3) – х•sin х•(5•х² + 3)’)/(5•х² + 3)² =((sin х + х•соs х)•(5•х² + 3) – х•sin х•10•х)/(5•х² + 3)².
7
Раскройте скобки и приведите подобные:х•соs х – х•sin х•(5•х - 3)/(5•х² + 3)².
8
Чтобы найти производную сложной функции вида f(v(х)), продифференцируйте старшую функцию f, приняв v за простой аргумент. Затем умножьте результат на производную v’(х). Например: (tv (2•х² + 3))’ = (tv х)’•(2•х² + 3)’ = 1/соs² (2•х² + 3)•4•х = 4•х/соs² (2•х² + 3).

Совет 8: Как вычислить интеграл функции

Интегральное исчисление является частью математического анализа, основные понятия которого – первообразная функция и интеграл, его свойства и методы вычисления. Геометрический смысл этих расчетов – нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной пределами интегрирования.
Инструкция
1
Как правило, вычисление интеграла сводится к тому, чтобы привести подынтегральное выражение к табличному виду. Существует множество табличных интегралов, которое облегчает решение таких задач.
2
Есть несколько способов привести интеграл к удобному виду: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод подстановки, введение под знак дифференциала, подстановка Вейерштрасса и др.
3
Метод непосредственного интегрирования – это последовательное приведение интеграла к табличному виду с помощью элементарных преобразований:∫соs² (х/2)dх = 1/2•∫(1 + соs х)dх = 1/2•∫dх + 1/2•∫соs xdх = 1/2•(х + sin х) + С, где C – константа.
4
Интеграл имеет множество возможных значений исходя из свойства первообразной, а именно наличия суммируемой константы. Таким образом, найденное в примере решение является общим. Частным решением интеграла называется общее при определенном значении постоянной, например, С=0.
5
Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. Формула метода:∫udv = u•v - ∫vdu.
6
Поскольку позиции множителей в произведения значения не имеют, то в качестве функции u лучше выбрать ту часть выражения, которая после дифференцирования упрощается. Пример:∫x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x²/2·ln x – ∫x²/2·dx/x = x²/2·ln x – x²/4 + C.
7
Введение новой переменной – это прием метода подстановки. При этом меняется и сама подынтегральная функции, и ее аргумент:∫x·√(x - 2)dx = [t=x-2 → x = t²+2 → dx=2·tdt] = ∫(t² + 2)·t·2·tdt = ∫(2·t^4 + 4·t²)dt = 2·t^5/5 + 4·t³/3 + C = [x=t²+2] = 2/5·(x - 2)^(5/2) + 4/3·(x - 2)^(3/2) + C.
8
Метод введения под знак дифференциала предполагает переход к новой функции. Пусть ∫f(x) = F(x) + C и u = g(x), тогда ∫f(u)du = F(u) + C [g’(x) = dg(x)]. Пример:∫(2·x + 3)²dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·∫(2·x + 3)²d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)³ + C.
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500