Как найти экстремум функции двух переменных

По определению, точка М0(x0, y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции двух переменных z=f(x,y), если в некоторой окрестности точки U(x0, y0), для любой точки M(x, y) выполнено f(x,y)f(x0, y0)). Эти точки называются экстремумами функции. В тексте частные производные обозначаются в соответствии с рис. 1.

Инструкция

1. Необходимым условием экстремума является равенство нулю частных производных функции по x и по y. Точка M0(x0, y0), в которой в нуль обращаются обе частные производные, называется стационарной точкой функции z=f(x, y).
2. Замечание. Частные производные функции z=f(x, y) могут не существовать в точке экстремума, поэтому точками возможного экстремума являются не только стационарные точки, но и точки, в которых частные производные не существуют (им соответствуют острия поверхности – графика функции).
3. Теперь можно перейти к достаточным условиям наличия экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум, то он может быть только в стационарной точке. Достаточные условия экстремума формулируются следующим образом: пусть в некоторой окрестности стационарной точки (x0, y0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Например: (cм. рис.2)
4. Тогда: а) если Q>0, то в точке (x0, y0) функция имеет экстремум, причем при f’’(x0, y0)0) - локальный минимум; б) если Q
5. Для отыскания экстремума функции двух переменных можно предложить следующую схему: сначала находятся стационарные точки функции. Затем в этих точках проверяются достаточные условия экстремума. Если функция в каких-то точках не имеет частных производных, то в этих точках тоже может быть экстремум, но достаточные условия уже не будут применимы.
6. Пример. Найти экстремумы функции z=x^3+y^3-xy.Решение. Найдем стационарные точки функции (см. рис. 3):
7. Решение последней системы дает стационарные точки (0, 0) и (1/3, 1/3). Теперь необходимо проверить выполнение достаточного условия экстремума. Найдите вторые производные, а также стационарные точки Q(0,0 ) и Q(1/3, 1/3) (см. рис 4):
8. Так как Q(0, 0)0, следовательно, в точке (1/3, 1/3) экстремум есть. С учетом того, что вторая производная (по xx) в (1/3, 1/3) больше нуля, необходимо принять решение, что эта точка является минимумом.