Инструкция
1
Пусть задан числовой ряд U0 + U1 + U2 + U3 + … + Un + … = ∑Un. Un — выражение для общего члена этого ряда.
Суммируя члены ряда от начала до некоторого конечного n, вы получаете промежуточные суммы ряда.
Если по мере возрастания n эти суммы стремятся к какой-то конечной величине, то ряд называют сходящимся. Если же они возрастают или убывают бесконечно, то ряд расходится.
2
Чтобы определить, сходится ли заданный ряд, прежде всего проверьте, стремится ли его общий член Un к нулю при бесконечном возрастании n. Если этот предел не равен нулю, то ряд расходится. Если же равен, то ряд, возможно, сходящийся.Например, ряд степеней двойки: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2^n + … — расходящийся, поскольку его общий член в пределе стремится к бесконечности.Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n + … расходится, хотя его общий член и стремится в пределе к нулю. С другой стороны, ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n) + … сходится, и предел его суммы равен 2.
3
Предположим, что нам даны два ряда, общие члены которых равны соответственно Un и Vn. Если есть такое конечное N, что начиная с него, Un ≥ Vn, то эти ряды можно сравнивать между собой. Если нам известно, что ряд U сходится, то ряд V тоже совершенно точно сходится. Если же известно, что ряд V расходится, то и ряд U — расходящийся.
4
Если все члены ряда положительны, то его сходимость можно оценить по признаку Даламбера. Найдите коэффициент p = lim(U(n+1)/Un) при n → ∞. Если p < 1, то ряд сходится. При p > 1 ряд однозначно расходится, но если p = 1, то требуется дополнительное исследование.
5
Если знаки членов ряда чередуются, то есть ряд имеет вид U0 - U1 + U2 - … + ((-1)^n)Un + …, то такой ряд называется знакопеременным или знакочередующимся. Сходимость этого ряда определяется признаком Лейбница. Если общий член Un при возрастании n стремится к нулю, и для каждого n Un > U(n + 1), то ряд сходится.
6
При анализе функций чаще всего приходится иметь дело со степенными рядами. Степенной ряд — это функция, заданная выражением:f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + … + an*x^n + …Сходимость такого ряда, естественно зависит от значения x. Поэтому для степенного ряда существует понятие диапазона всех возможных значений x, при которых ряд сходится. Этот диапазон равен (-R; R), где R — радиус сходимости. Внутри него ряд сходится всегда, за его пределами всегда расходится, на самой границе может как сходиться, так и расходиться.R = lim |an/a(n+1)| при n → ∞.Таким образом, для анализа сходимости степенного ряда достаточно найти R и проверить сходимость ряда на границе диапазона, то есть при x = ±R.
7
Например, пусть вам дан ряд, представляющий собой разложение в ряд Маклорена функции e^x:e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + … + (x^n)/n! + …Отношение an/a(n+1) равно (1/n!)/(1/(n+1)!) = (n+1)!/n! = n + 1. Предел этого отношения при n → ∞ равен ∞. Следовательно, R = ∞, и ряд сходится на всей действительной оси.