Совет 1: Как найти радиус описанной около треугольника окружности

Для каждого треугольника существует только одна описанная окружность. Это такая окружность, на которой лежат все три вершины треугольника с заданными параметрами. Найти ее радиус может понадобиться не только на уроке геометрии. С этим приходится постоянно сталкиваться проектировщикам, закройщикам, слесарям и представителям многих других профессий. Для того, чтобы найти ее радиус, необходимо знать параметры треугольника и его свойства. Центр описанной окружности находится в точке пересечения всех трех высто треугольника.
Вам понадобится
  • Треугольник с заданными параметрами
  • Циркуль
  • Линейка
  • Угольник
  • Таблица синусов и косинусов
  • Математические понятия
  • Определение высоты треугольника
  • Формулы синусов и косинусов
  • Формула площади треугольника
Инструкция
1
Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник можно построить либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы — как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны — как а, b и c.
Начертите треугольник с заданными параметрами
2
Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром описанной окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.
3
Радиус описанной окружности можно найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить площадь треугольника. Она равна произведению всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

S=abc*sinα

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

R=a*b*c/4S

Для другой формулы достаточно знать длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

R=a/2sinα

Вычислите радиус и опишите вокруг треугольника окружность.

Совет 2: Как найти радиус описанной окружности

Окружность считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.
Вам понадобится
  • Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.
Инструкция
1
Подсчет радиуса описанной вокруг треугольника окружности.
Если окружность описана вокруг треугольника со сторонами a, b, c, площадью S и углом ?, лежащим против стороны a, то ее радиус R может быть рассчитан по следующим формулам:
1) R = (a*b*c)/4S;
2) R = a/2sin?.
Как найти радиус описанной <strong>окружности</strong>
2
Подсчет радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника.
Для расчета радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:
R = a/(2 x sin (360 / (2 x n))), где
a - сторона правильного многоугольника;
n - количество его сторон.
Как найти радиус описанной <strong>окружности</strong>
Обратите внимание
Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.
Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.
Источники:
  • как найти радиус многоугольника

Совет 3: Как найти радиус

Если для многоугольника удается построить вписанную и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.
Инструкция
1
Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника формула радиуса вписанной окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а - сторона треугольника.
2
Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус описанной окружности находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула проще: R = a/3^1/2.
3
Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и описанных окружностей и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического измерения радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры называются срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.
Видео по теме
Обратите внимание
В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.
Совет полезен?
В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;

Для треугольника такие окружности всегда существуют.

Совет 4: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.
Вам понадобится
  • длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов
Инструкция
1
Пусть задана треугольник ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площадь такого треугольника можно найти по формуле Герона.

Периметр треугольника P - это сумма длин его трех сторон: P = a+b+c. Обозначим его полупериметр за p. Он будет равен p = (a+b+c)/2.
2
Формула Герона для площади треугольника выглядит следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
3
Можно вывести формулу для площади треугольника и из других соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти выражения можно также записать в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
4
Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его косинус с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.
Видео по теме

Совет 5: Как найти площадь треугольника по трем точкам

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь. Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
1
Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника. В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с их определения. Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты вершин A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
2
Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из названия понятно, что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
3
Рассчитайте площадь (S) по формуле Герона - извлеките корень из произведения полупериметра на разность между ним и длиной каждой из сторон. В общем виде ее можно записать так: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √( P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).
4
Для практических расчетов удобно пользоваться специализированными онлайн-калькуляторами. Это скрипты, размещенные на серверах некоторых сайтов, которые проделают все необходимые расчеты на основе координат, введенных вами в соответствующую форму. Единственный недостаток такого сервиса - он не дает объяснений и обоснований для каждого шага вычислений. Поэтому, если вас интересует только конечный результат, а не вычисления в общем виде, перейдите, например, на страницу http://planetcalc.ru/218/.
5
В поля формы раздельно введите каждую координату каждой из вершин треугольника - они обозначены здесь как Ax, Ay, Az и т.д. Если треугольник задан двухмерными координатами, в поля аппликат - Az, Bz и Cz - пишите ноль. В поле «Точность вычисления» установите нужное число знаков после запятой, кликая мышкой пиктограммы плюса или минуса. Помещенную под формой оранжевую кнопку «Рассчитать» нажимать не обязательно, вычисления будут произведены и без этого. Ответ вы найдете рядом с надписью «Площадь треугольника» - она размещена сразу под оранжевой кнопкой.
Источники:
  • найдите площадь треугольника с вершинами в точках

Совет 6: Как найти центр описанной окружности

Иногда около выпуклого многоугольника можно начертить окружность таким образом, чтобы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику надо называть описанной. Ее центр не обязательно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности, найти эту точку, как правило, не очень трудно.
Вам понадобится
  • Линейка, карандаш, транспортир или угольник, циркуль.
Инструкция
1
Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центра круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.
2
Проделайте эту же операцию с любой другой стороной многоугольника. Пересечение двух построенных отрезков и будет искомой точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности - ее центр в выпуклом многоугольнике с любым числом сторон всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим сторонам.
3
Для правильных многоугольников определение центра вписанной окружности может быть намного проще. Например, если это квадрат, то начертите две диагонали - их пересечение и будет центром вписанной окружности. В правильном многоугольнике с любым четным числом сторон достаточно соединить вспомогательными отрезками две пары лежащих друг напротив друга углов - центр описанной окружности должен совпадать с точкой их пересечения. В прямоугольном треугольнике для решения задачи просто определите середину самой длинной стороны фигуры - гипотенузы.
4
Если из условий неизвестно, можно ли в принципе начертить описанную окружность для данного многоугольника, после определения предполагаемой точки центра любым из описанных способов вы можете это выяснить. Отложите на циркуле расстояние между найденной точкой и любой из вершин, установите циркуль в предполагаемый центр окружности и начертите круг - каждая вершина должна лежать на этой окружности. Если это не так, значит, не выполняется одно из основных свойств и описать окружность около данного многоугольника нельзя.

Совет 7: Как найти площадь треугольника по двум сторонам

Иногда в жизни приходится сталкиваться с ситуациями, в которых нужны знания из геометрии. Такая информация в повседневной жизни редко используются, поэтому забывается. Одним из востребованных вопросов является поиск площади треугольника при помощи длины двух его сторон.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Площадь треугольника, вычисляемая по длине двух его сторон, требует еще и замера угла между ними. Для этого воспользуйтесь транспортиром или другими специальными инструментами. Например, малка - весьма удобна для измерения углов в комнате.
2
После того, как вы нашли размер двух сторон треугольника и угла между ними, перейдите к расчетам. Находить площадь следует по следующей формуле: S∆ abc = 1/2 ab sin угла. При этом, если вы имеете прямой угол в треугольнике между двумя известными сторонами, то формулу можно сократить: S∆ abc = 1/2 ab.
3
Чтобы вычислить синус угла можно воспользоваться тригонометрической таблицей Брадиса, где даны значения для самых распространенных размеров углов. Еще одним неплохим способом для вычисления синуса угла является калькулятор. В каждой операционной системе Windows он есть среди стандартных программ. Откройте его и переключите в режим «Инженерный», который находится в разделе «Вид». После чего вводите размер угла, синус которого хотите вычислить. Дальше выберите единицы измерения для рассчитываемого ответа. Это могут быть градусы, радианы или рады. Сделать это можно с помощью кнопок, расположенных под полем ввода. Нажмите клавишу «sin» и получите результат.
4
Конечно, синус угла сегодня можно вычислить и с помощью различных продвинутых онлайн калькуляторов с удобным интерфейсом и большими функциональными возможностями. Найти такую программу в интернете не составит труда, потому что их предлагается много. Просто впишите в поисковик «калькулятор тригонометрических функций».
5
Теперь перемножайте длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, делите все на 2 и ответ готов. Площадь треугольника найдена.
Видео по теме
Обратите внимание
Треугольник образован соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.
Полезный совет
Вспомните, что такое высота треугольника. Это перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне.

Площадь треугольника может быть представлена и как произведение квадрата одной из сторон на синусы двух прилежащих углов, деленное на удвоенный синус суммы этих углов.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ
Источники:
  • таблица с радиусами описанной окружности
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500